\(a \in R^n\), \(b \in R^n\),\(c \in R^n\). Zakładamy, że \(\parallel a \parallel =1\), \(\parallel b \parallel =2\), \(\parallel c \parallel =\sqrt{3}\), \(a \cdot b=-1\), \(b \cdot c=3\) ( tu wlasnie nie wiem czy jest zwykle mnozenie czy ta duza kropka), \(a \perp c\). Znaleźć \(k \in R\), takie aby wektory \(v=a+kc\) i \(w=2a-b\) tworzyły kąt 30 stopni.
mógłby mi ktoś pomoc? bo jak na razie wogóle nie rozumiem tych zadań ;(
wektory
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
joanna1234
- Czasem tu bywam
- Posty: 137
- Rejestracja: 09 mar 2011, 18:30
- Podziękowania: 26 razy
-
radagast
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
Zacznijmy od tego, ze
1) \(\parallel \vec{x} \parallel = \sqrt{ \vec{x} ^2}\)
2) \(cos \alpha = \frac{ \vec{x} \circ \vec{y} }{ \parallel x \parallel \cdot \parallel y \parallel }\) (\(\alpha\) jest kątem między wektorami \(\vec{x}, \vec{y}\)
3) no i jeszcze to, ze iloczyn skalarny jest rozdzielny względem dodoawania
4) \(\vec{a} \perp \vec{c} \Leftrightarrow \vec{a} \circ \vec{c} =0\)
Dalej to juz będzie tylko rachowanie:
\(\frac{ \sqrt{3} }{2} =cos 30^ \circ = \frac{ \vec{v} \circ \vec{w} }{ \parallel v \parallel \cdot \parallel w \parallel }= \frac{(a+kc) \circ (2a-b) }{ \parallel a+kc \parallel \cdot \parallel 2a-b \parallel }= \frac{2a^2-ab+2kac-kbc}{ \sqrt{a^2+2kac+k^2c^2} \sqrt{4a^2-4ab+b^2} }=
\frac{2+1+0-3k}{ \sqrt{1+0+3k^2} \sqrt{4+4+4} }= \frac{3-3k}{ \sqrt{1+3k^2} \sqrt{12} }= \frac{ \sqrt{3} }{2} \Leftrightarrow\)
\(6-6k=6 \sqrt{1+3k^2} \Leftrightarrow 1-k= \sqrt{1+3k^2} \Leftrightarrow 1-2k+k^2=1+3k^2 \Leftrightarrow k=0 \vee k=-1\)
1) \(\parallel \vec{x} \parallel = \sqrt{ \vec{x} ^2}\)
2) \(cos \alpha = \frac{ \vec{x} \circ \vec{y} }{ \parallel x \parallel \cdot \parallel y \parallel }\) (\(\alpha\) jest kątem między wektorami \(\vec{x}, \vec{y}\)
3) no i jeszcze to, ze iloczyn skalarny jest rozdzielny względem dodoawania
4) \(\vec{a} \perp \vec{c} \Leftrightarrow \vec{a} \circ \vec{c} =0\)
Dalej to juz będzie tylko rachowanie:
\(\frac{ \sqrt{3} }{2} =cos 30^ \circ = \frac{ \vec{v} \circ \vec{w} }{ \parallel v \parallel \cdot \parallel w \parallel }= \frac{(a+kc) \circ (2a-b) }{ \parallel a+kc \parallel \cdot \parallel 2a-b \parallel }= \frac{2a^2-ab+2kac-kbc}{ \sqrt{a^2+2kac+k^2c^2} \sqrt{4a^2-4ab+b^2} }=
\frac{2+1+0-3k}{ \sqrt{1+0+3k^2} \sqrt{4+4+4} }= \frac{3-3k}{ \sqrt{1+3k^2} \sqrt{12} }= \frac{ \sqrt{3} }{2} \Leftrightarrow\)
\(6-6k=6 \sqrt{1+3k^2} \Leftrightarrow 1-k= \sqrt{1+3k^2} \Leftrightarrow 1-2k+k^2=1+3k^2 \Leftrightarrow k=0 \vee k=-1\)