Pola powierzchni powstałe z obrotu wykresów

[Robson1416]

Pola powierzchni powstałe z obrotu wykresów podanych funkcji wokół wskazanych osi:

a)
\(f(x)= \sqrt{4+x}
-4 \le x \le 2, Ox\)

b)
\(f(x)= ln x
1 \le x \le \sqrt{3}, Oy\)

c)
\(f(x)= cos x
0 \le x \le \frac{\pi}{2}, Ox\)

[domino21]

\(S=2\pi \int _a ^b f(x) \sqrt{ 1+(f'(x))^2 }dx\)

a.
\(y'=\frac{1}{2\sqrt{4+x}}\)

\(S=2\pi \int _{-4} ^2 \sqrt{4+x} \sqrt{1+\frac{1}{4(4+x)}} dx=2\pi \int _{-4} ^2 \frac{1}{2} \sqrt{4x+17} dx=\pi \int _{-4} ^2 \sqrt{4x+17} dx=(*)\)

\(\int \sqrt{4x+17} dx =\left(4x+17 =t \\ 4dx=dt \\ dx=\frac{1}{4} dt \right)=\frac{1}{4} \int \sqrt{t}dt=\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}+C=\frac{1}{6} t\sqrt{t} +C=\frac{1}{6}(4x+17)\sqrt{4x+17}+C\)

\((*)=\frac{1}{6}\pi (4x+17) \sqrt{4x+17} | _{-4}^2 =\pi (\frac{125}{6}-\frac{1}{6})=\frac{62}{3}\pi\)

[domino21]

c.
\(y'=-\sin x\)

\(S=2\pi \int _0^{\frac{\pi}{2}}\cos x \sqrt{ 1+\sin^2 x }dx=2\pi\int _0^{\frac{\pi}{2}}\cos x \sqrt{ cos^2 x }dx=2\pi\int _0^{\frac{\pi}{2}}\cos^2 x dx=(*)\)

\(\int \cos^2 x dx=\int \frac{1+\cos 2x}{2} dx=\frac{1}{2} \int x+\cos 2x dx=\frac{1}{2} (x+\frac{1}{2} \sin 2x)+C\)

\((*)=\pi (x+\frac{1}{2} \sin 2x) | _0 ^{\frac{\pi}{2}} =\pi\cdot \frac{\pi}{2}=\frac{\pi^2}{2}\)