Całka z pierwiastka

[szczepan_lol]

Proszę o rozwiązanie:
\(\int ( \sqrt{1+ \frac{1}{x} } dx\)

[radagast]

\(\int ( \sqrt{1+ \frac{1}{x} } dx\)

podstawmy
\(t^2=1+ \frac{1}{x}\)
\(x= \frac{1}{t^2-1}\)
\(dx= \frac{2tdt}{t^2-1}\)

\(\int ( \sqrt{1+ \frac{1}{x} } dx= 2\int \frac{t^2}{t^2-1}dt=2\int 1+ \frac{1}{t^2-1}dt=2\int 1+ \frac{1}{t^2-1}dt=2t+2\int \frac{1}{(t-1)(t+1)}dt =
2t+\int \frac{1}{t-1}+\frac{1}{t+1} dt=2t +ln|t-1| +ln|t+1|+C =2\sqrt{1+ \frac{1}{x} } +ln|\sqrt{1+ \frac{1}{x} } -1| +ln|\sqrt{1+ \frac{1}{x} } +1|+C =
2\sqrt{1+ \frac{1}{x} } +ln| \frac{1}{x} |+C=2\sqrt{1+ \frac{1}{x} } -ln| x |+C\)

[szczepan_lol]

Czy na pewno dx się zgadza?
mi wychodzi \(dx= \frac{-2t}{(t^2-1)^2}\)