Wykaż , że
: 29 mar 2009, 21:06
Wykaż , że jeżeli x,y,z są liczbami rzeczywistymi oraz x+y+z=1 to \(x^2+y^2+z^2 \geq \frac {1}{3}\)
\((a-b)^2 \ge 0\\
a^2+b^2 -2ab \ge 0\\
a^2+b^2 \ge 2ab\)
\(x^2+y^2\ge 2xy\\
y^2+z^2\ge 2yz\\
z^2+x^2\ge 2zx\)
Dodając stronami otrzymujemy:
\(2(x^2+y^2+z^2)\ge 2xy+2yz+2zx\)
\(x+y+z=1 \ /()^2\\
(x+y+z)^2=1\\
x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx=1\\
x^2+y^2+z^2+2(x^2+y^2+z^2)\ge 1\\
3(x^2+y^2+z^2)\ge 1\\
x^2+y^2+z^2\ge\frac{1}{3}\)