granica funkcji

[celia11]

proszę o ppomoc w rozwiązaniu:

Oblicz granicę funkcji korzystajac z twierdzenia o arytmetyce granic.



dziekuję

[jola]

\(x \to 0^-\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \frac{1}{x} \to - \infty \ \ \ \Rightarrow \ \ \ arctg \frac{1}{x} \to - \frac{ \pi }{2}\)

\(x \to 0^- \to x^3 \to 0\)

\(\lim_{x\to 0^-} x^3arctg \frac{1}{x}=0\)

[celia11]

ale tu mamy arcctg, a nie arctg.
dziekuję

[celia11]

proszę mi jeszcze pomóc w takim dziwnym przykładzie:

\(\lim_{x\to 0} \frac{sh2x}{shx}\)
dziękuję bardzo

[radagast]

e)
No to jak arcctg to:
\(\lim_{x\to 0^-} x^3arcctg \frac{1}{x}=0 \cdot \pi =0\)
szczegóły jak u Joli, z tym że \(\lim_{x\to - \infty }arcctg= \pi\)

[radagast]

f)
przepisz to (lajlepiej w latexie) to Ci rozwiążę (dosyć tego łamania regulaminu )

[celia11]

poprawiłam:)

[radagast]

\(\lim_{x\to 0} \frac{sh2x}{shx}=\lim_{x\to 0} \frac{ \frac{e^{2x}-e^{-2x}}{2} }{\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}}=\lim_{x\to 0} \frac{ e^{2x}-e^{-2x}}{e^{x}-e^{-x}}=\lim_{x\to 0} \frac{ (e^{x}-e^{-x} )(e^{x}+e^{-x}) }{e^{x}-e^{-x}}= \lim_{x\to0 } e^{x}+e^{-x}=2\)

[celia11]

\(=\lim_{x\to 0} \frac{ \frac{e^{2x}-e^{-2x}}{2} }{\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}}=\)

co to jest, i dlaczego tak?
prosze mi pomóc w pojęciu:)

[radagast]

\(shx=^{def} \frac{e^x-e^{-x}}{2}\)

[celia11]

mam jeszcze taki przykład i nie wychodzi mi, nie wiem co robię źle?

\(\lim_{x\to - \infty } ( \sqrt{x^2+1} +x) =\lim_{x\to - \infty } \frac{( \sqrt{x^2+1} +x)( \sqrt{x^2+1} -x)}{( \sqrt{x^2+1} -x)} = \lim_{x\to - \infty } \frac{X^2+1-X^2}{\sqrt{x^2+1} - x } = \lim_{x\to - \infty } \frac{1}{ \sqrt{x^2+1} -x} =\)

nie wiem co dalej?
proszę mi pomóc,
dziękuję

[celia11]

jeszcze jaden przykład, nie potrafie go rozwiązać:(

\(\lim_{x\to 2} \frac{x^2-1}{x-2}\).


Proszę mi pomóc.
Dziekuję

[radagast]

\(\lim_{x\to 2^-} \frac{x^2-1}{x-2}= \frac{3}{ 0^- }=- \infty\)
\(\lim_{x\to 2^+} \frac{x^2-1}{x-2}= \frac{3}{ 0^+ }=+ \infty\)

[celia11]

a skąd wiemy, że tu \(x \to 2^-\)

?

[radagast]

tego nie wiemy. Dlatego trzeba osobno potraktować z każdej strony (są różne).