twierdzenia o arytmetyce

[celia11]

proszę o pomoc w rozwiązaniu:
Korzystajac z twierdzenia o arytmetyce granic obliczyć podane granice ciagów:


dziękuję

[radagast]

c)
\(\lim_{n\to \infty } \frac{ \sqrt{n^3+1}}{ \sqrt[3]{n^5+1}+1 }=\)

\(\lim_{n\to \infty } \frac{ \sqrt{1+ \frac{1}{n^3} }}{ \sqrt[6]{ \frac{n^{10}+2n^5+1}{n^9} }+ \frac{1}{ \sqrt{n^3} } }= \frac{1}{ \infty }=0\)

[radagast]

d)
\(\lim_{n\to \infty } \frac{1+3+...+(2n-1)}{2+4+...+2n}=\)

\(\lim_{n\to \infty } \frac{\frac{1+(2n-1)}{2}n}{\frac{2+2n}{2}n} =\)

\(\lim_{n\to \infty } \frac{2n}{2+2n} =\)

\(\lim_{n\to \infty } \frac{n}{1+n} =\)

\(\lim_{n\to \infty } \frac{1}{ \frac{1}{n} +1} = 1\)

[radagast]

e)
\(\lim_{n\to \infty } ( \sqrt{n+6 \sqrt{n}+1 } - \sqrt{n} )=\)

\(\lim_{n\to \infty } \frac{ n+6 \sqrt{n}+1 - n }{ \sqrt{n+6 \sqrt{n}+1 } + \sqrt{n} } =\)

\(\lim_{n\to \infty } \frac{6 + \frac{1}{\sqrt{n}} }{ \sqrt{1+ \frac{6}{\sqrt{n}} + \frac{1}{n} } + 1 } =3\)

[celia11]

e)
\(\lim_{n\to \infty } ( \sqrt{n+6 \sqrt{n}+1 } - \sqrt{n} )=\)

\(\lim_{n\to \infty } \frac{ n+6 \sqrt{n}+1 - n }{ \sqrt{n+6 \sqrt{n}+1 } + \sqrt{n} } =\)

\(\lim_{n\to \infty } \frac{6 + \frac{1}{\sqrt{n}} }{ \sqrt{1+ \frac{6}{\sqrt{n}} + \frac{1}{n^2} } + \frac{1}{n} } =6\)

nie wiem czy w odpowiedziach jest źle: tam jest 3.

??
bardzo dziękuję

[radagast]

U mnie był błąd, juz poprawiłam (nawet dwa, ale jeden nie miał wpływu na wynik)

[radagast]

Podaj pozostałe odpowiedzi.

[celia11]

f) \(\frac{4}{3}\)
g) \(1\)
h) \(0\)
i) \(1\)
j) \(1\)

bardzo dziękuję

[radagast]

f)
\(\lim_{n\to \infty } \frac{1+ \frac{1}{2}+ \left( \frac{1}{2} \right)^2+...+ \left( \frac{1}{2} \right)^n }{1+ \frac{1}{3}+ \left( \frac{1}{3} \right)^2+...+ \left( \frac{1}{3} \right)^n }=\)

\(\lim_{n\to \infty } \frac{ \frac{1- \left( \frac{1}{2} \right)^n } { 1- \frac{1}{2} }}{ \frac{1- \left( \frac{1}{3} \right)^n } { 1- \frac{1}{3} }} = \frac{ \frac{1 } { 1- \frac{1}{2} }}{ \frac{1 } { 1- \frac{1}{3} }}= \frac{}{} 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}\)

[radagast]

g)\(1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} +...+ \frac{1}{n}+...= \infty\) bo to szereg harmoniczny
oznaczmy \(1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} +...+ \frac{1}{n} = S_n\)

\(\lim_{n\to \infty } \frac{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} +...+ \frac{1}{n+1}}{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} +...+ \frac{1}{n}}=

\(\lim_{n\to \infty } \frac{ S_n+ \frac{1}{n+1}}{S_n}=\)

\(\lim_{n\to \infty } \frac{ 1+ \frac{1}{(n+1)S_n}}{1}=1\)\)

[radagast]

h)
Nie wiem po co ta gwiazdka, ono jest najłatwiejsze . To jest ciąg stale równy 0 (sin całkowitych wielokrotności\(\pi\)), to pewnie tak dla zmylenia przeciwnika

[radagast]

i)
\(\lim_{n \to\infty } \frac{ \sqrt{4^n+1} }{ \sqrt[3]{8^n+1} }\)

\(\lim_{n \to \infty } \frac{ \sqrt[6]{(4^n+1)^3} }{ \sqrt[6]{(8^n+1)^2} }\)

\(\lim_{n \to \infty } \frac{ \sqrt[6]{(2^{2n}+1)^3} }{ \sqrt[6]{(2^{3n}+1)^2} }\)

\(\lim_{n \to \infty } \frac{ \sqrt[6]{2^{6n} +3 \cdot 2^{4n} +3\cdot2^{2n}+ 1} }{ \sqrt[6]{2^{6n}+2 \cdot 2^{3n} +1} }\)

\(\lim_{n \to \infty } \frac{ \sqrt[6]{1 + \frac{3}{2^{2n}} +\frac{3}{2^{4n}} + \frac{1}{2^{6n} } } }{ \sqrt[6]{1+\frac{2}{2^{3n}} +\frac{1}{2^{6n}} }}=1\)

[radagast]

j)
\(\lim_{n\to \infty } \frac{arctg(3n+1) }{arctg(2n+1)}= \frac{ \frac{ \pi }{2} }{\frac{ \pi }{2} } =1\)

[celia11]

c)
\(\lim_{n\to \infty } \frac{ \sqrt{n^3+1}}{ \sqrt[3]{n^5+1}+1 }=\)

\(\lim_{n\to \infty } \frac{ \sqrt{1+ \frac{1}{n^3} }}{ \sqrt[6]{ \frac{n^{10}+2n^5+1}{n^9} }+ \frac{1}{ \sqrt{n^3} } }= \frac{1}{ \infty }=0\)

prosze mi pomóc w zrozumieniu, dlaczego jest tak rozwiazane, przez co były dzielone konkretne liczby, albo co było wyłączone przez pierwiastek.

dziekuję

[radagast]

nie, jest ok . Tylko wytłumaczyłam się z tego działa nia dobrze , bo ja licznik i mianownik dzielę przez \(\sqrt{n^3}\). Wczoraj sięz tym okropnie gimnastykowałam. Ale jest ok.