Proszę o pomoc w zbadaniu zbieżności podanego szeregu:
\(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\ln n}{n^2+1}\)
Zbieżność szeregu liczbowego
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
Legelle, a Ty jesteś tego pewna ? To szacowanie to chyba w drugą stronę powinno być (?)Legelle pisze:Dla \(n \ge 1\) zachodzi \(\ln n<n\), więc \(\frac{\ln n}{n^2+1}< \frac{n}{n^2+1}\).
Szereg \(\sum \frac{n}{n^2+1}\) jest rozbieżny na mocy kryterium porównawczego ilorazowego, więc szereg \(\sum \frac{\ln n}{n^2+1}\) również jest rozbieżny.
- Lbubsazob
- Fachowiec
- Posty: 1909
- Rejestracja: 28 maja 2010, 08:51
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękowania: 40 razy
- Otrzymane podziękowania: 898 razy
- Płeć:
Ano faktycznie, mój błąd.
Proponuję tak:
\(\ln n<\sqrt n \\
\frac{\ln n}{n^2+1}< \frac{\ln n}{n^2}< \frac{\sqrt n}{n^2}= \frac{n^{\frac{1}{2}}}{n^2}=n^{-\frac{3}{2}}= \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}\)
Szereg \(\sum \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}\) jest zbieżny jako szereg harmoniczny rzędu \(\frac{3}{2}\), więc na mocy kryterium porównawczego szereg \(\sum \frac{\ln n}{n^2+1}\) też jest zbieżny.
Proponuję tak:
\(\ln n<\sqrt n \\
\frac{\ln n}{n^2+1}< \frac{\ln n}{n^2}< \frac{\sqrt n}{n^2}= \frac{n^{\frac{1}{2}}}{n^2}=n^{-\frac{3}{2}}= \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}\)
Szereg \(\sum \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}\) jest zbieżny jako szereg harmoniczny rzędu \(\frac{3}{2}\), więc na mocy kryterium porównawczego szereg \(\sum \frac{\ln n}{n^2+1}\) też jest zbieżny.