egzamin z matematyki:)

[eW77]

1.Obliczyć granice ciągów:
\(a_n=n- \sqrt{n^2+3n}
b_n= \frac{ \sqrt{n^3+7}+5 }{(n+1) \sqrt{n+1} }
c_n=( \frac{n+3}{n-1} )^n\)
2.Podać równanie prostej stycznej do wykresu funkcji
\(f(x)= \frac{x}{x^2+1}\) dla x=2

3.Zbadać przebieg zmienności funkcji \(f(x)= \frac{x^2}{x^2+1}\)

4.Całki \(\int_{}^{} (2x+1)^12 dx, \int_{}^{} x \sqrt{3x^2+4}dx, \int_{}^{} cos(5x+1)dx\)

5.Obliczyć pole figury ograniczonej przez linie xy=6 i x+y=5

[radagast]

\(a_n=n- \sqrt{n^2+3n} = \frac{n^2-n^2-3n}{n+ \sqrt{n^2+3n}} = \frac{-3}{1+ \sqrt{1+ \frac{3}{n} }} \to -\frac{3}{2}\)

[radagast]

\(b_n= \frac{ \sqrt{n^3+7}+5 }{(n+1) \sqrt{n+1} } = \frac{ \sqrt{1+ \frac{7}{n^3} }+ \frac{5}{n} }{(1+ \frac{1}{n} ) \sqrt{n+1} } \to 0\)

sprawdź, bo coś mi się tu nie podoba ale nie mogę znaleźć błędu

[radagast]

\(c_n=( \frac{n+3}{n-1} )^n=( 1+\frac{4}{n-1} )^n \to e^4\)

[domino21]

\(\int (2x+1)^{12} dx= \left(2x+1=t \\ 2dx= dt \\ dx=\frac{1}{2} dt \right)=\frac{1}{2} \int t^{12} dt =\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{13} t^{13} +C =\frac{1}{26} (2x+1)^{13} +C\)

[domino21]

\(\int x \sqrt{ 3x^2+4} dx =\left(3x^2+4=t \\ 6x dx=dt \\ x dx=\frac{1}{6} dt \right)=\frac{1}{6} \sqrt{t} dt=\frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3} t\sqrt{t} +C=\frac{1}{9} (3x^2+4)\sqrt{3x^2+4} +C\)

[domino21]

\(\int \cos (5x+1) dx =\left(5x+1=t \\ 5dx =dt \\ dx=\frac{1}{5} dt \right)=\frac{1}{5} \int \cos t dt =\frac{1}{5} \sin t+C=\frac{1}{5} \sin (5x+1)+C\)

[domino21]

zad 2.
\(f(x)=\frac{x}{x^2+1}
f'(x)=\frac{ 1-x^2}{(x^2+1)^2}\)

\(f(2)=\frac{2}{4+1}=\frac{2}{5}
f'(2)=\frac{ 1-4}{(4+1)^2}=-\frac{3}{25}\)

\(y-\frac{2}{5} =-\frac{3}{25} (x-2)
y=-\frac{3}{25}(x-2)+\frac{2}{5}\)

[radagast]

\(f(x)= \frac{x}{x^2+1}\)

\(f(2)= \frac{2}{2^2+1}= \frac{2}{5}\)

\(f'(x)= \frac{1-x^2}{(x+1)^2}\)

\(f'(2)= \frac{1-2^2}{(2+1)^2}=- \frac{1}{3}\)

No to styczna ma równanie \(y=- \frac{1}{3}x+b\) ,
a ponieważ przechodzi przez punkt styczności \((2, \frac{2}{5} )\)

to \(b= \frac{16}{15}\)
(chyba , że sie pomyliłam w rachunkach)

No i styczna ma równanie \(y=- \frac{1}{3}x+ 1\frac{1}{15}\)

[slawekstudia6]

\(b_n= \frac{ \sqrt{n^3+7}+5 }{(n+1) \sqrt{n+1} } = \frac{ \sqrt{1+ \frac{7}{n^3} }+ \frac{5}{n} }{(1+ \frac{1}{n} ) \sqrt{n+1} } \to 0\)

sprawdź, bo coś mi się tu nie podoba ale nie mogę znaleźć błędu

powinno być

\(\lim_{n\to \infty } \frac{ \sqrt{n^3+7}+5 }{(n+1) \sqrt{n+1} }=\lim_{n\to \infty } \frac{ \sqrt{n^3+7}+5 }{\sqrt{(n+1)^3} }=\lim_{n\to \infty } \frac{ \sqrt{n^3+7}+5 }{\sqrt{n^3+3n^2+3n+1} }=\\=\lim_{n\to \infty } \frac{ \sqrt{1+ \frac{7}{n^3} }+ \frac{5}{ \sqrt{n^3} } }{\sqrt{1+ \frac{3}{n} + \frac{3}{n^2} + \frac{1}{n^3} } }= \left[ \frac{ \sqrt{1+ 0 }+ 0 }{\sqrt{1+ 0 + 0 + 0 } } \right] =1\)

[domino21]

\(\begin{cases} xy=6 \\ x+y=5 \end{cases} \ \Rightarrow \ \begin{cases} x=2 \\ y=3 \end{cases} \ \Rightarrow \ \begin{cases} x=2 \\ y=3 \end{cases} \ \vee \ \begin{cases} x=3 \\ y=2 \end{cases}\)

\(|D|=\int_2 ^3 (5-x-\frac{6}{x} )dx =5x-\frac{1}{2}x^2-6\ln x |_2^3 = 15-\frac{9}{2} -6\ln 3 -10 +2+6\ln 3 =\frac{5}{2} -6\ln \frac{3}{2}\)

[domino21]

radagast, jednak pomyłka w liczeniu pochodnej

[radagast]

No dobra, ale Sławek , gdzie ja robie błąd:
1) dzielę licznik i mianownik przez n
2) skoro w mianowniku jest iloczyn to dzielę tylko jeden czynnik, a drugi pozostawiam bez zmian i... otzrymuję zły wynik
Widzę,że jest zły ale nie mogę się dopatrzyć błędu

[irena]

No dobra, ale Sławek , gdzie ja robie błąd:
1) dzielę licznik i mianownik przez n
2) skoro w mianowniku jest iloczyn to dzielę tylko jeden czynnik, a drugi pozostawiam bez zmian i... otzrymuję zły wynik
Widzę,że jest zły ale nie mogę się dopatrzyć błędu

Zobacz- w liczniku jest pierwiastek kwadratowy : \(\sqrt{n^3...}\), więc dzielić powinnaś przez \(n\sqrt{n}\)

[radagast]

Racja, dzięki