całka z podstawieniem 3sint

[malwik91]

mam do obliczenia taka całkę: \(\int sqrt{9-(x-3)^2} dx\), ze wskazówki wiem że podstawienie musi byc x-3=3sint
wie ktoś jak to zrobic?

[slawekstudia6]

wersja dla leniwych gotowy wzorek
\(\int \sqrt{a^2-x^2} dx= \frac{a^2}{2} arcsin \frac{x}{|a|} + \frac{x}{2} \sqrt{a^2-x^2}\)

a dla pracowitych

\(\int \sqrt{a^2-x^2} dx\)
stosuje się podstawienie
\(\begin{vmatrix}x=asink\\dx=acoskdk\\k=arcsin \frac{x}{a}\\ \sqrt{a^2-x^2}=acosk \end{vmatrix}\)

[slawekstudia6]

\(\int sqrt{9-(x-3)^2} dx=\begin{vmatrix}x-3=3sink\\dx=3coskdk \\k=arcsin \frac{x-3}{3} \end{vmatrix}=\int sqrt{9-(3sink)^2} \cdot 3coskdk=\\=\int sqrt{9(1-sin^2k)} \cdot 3coskdk=\int sqrt{9cos^2x} \cdot 3coskdk=9\int cos^2kdk=...\)

tutaj można skorzystać z \(cos2x\)
\(\underline{cos2k=2cos^2k-1}=1-2sin^2k=cos^2k-sin^2k\)

\(...=9\int \frac{1}{2} (1+cos2k)dk= \frac{9}{2}( k+ \frac{1}{2}sin2k)+C=\\=\frac{9}{2}( k+ \frac{1}{2}sin2k)+C\)

teraz można uzyskać różne wyniki
\(\frac{9}{2}( k+ \frac{1}{2}sin2k)+C=\frac{9}{2}( arcsin \frac{x-3}{3}+ \frac{1}{2}sin(2arcsin \frac{x-3}{3}))+C\)
albo
\(\frac{9}{2}( k+ \frac{1}{2}sin2k)+C=\frac{9}{2}( k+ sinkcosk)+C=\\=\frac{9}{2}( arcsin \frac{x-3}{3}+ \frac{x-3}{3} \frac{\sqrt{9-(x-3)^2}}{3} )+C=\\=\frac{9}{2}arcsin \frac{x-3}{3}+ \frac{1}{2} (x-3) sqrt{9-(x-3)^2}+C\)

[malwik91]

dzięki ;D