ile jest kul czerwonych a ile żółtych

[olciaa]

W pudełku jest 15 kul, w tym co najmniej dwie są zółte, a pozostałe czerwone.
a) ile kul żółtyc a ile czerwonych jest w pudełku, jeśli w losowym wyborze dwóch kul z pudeła prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul żółtych wynosi \(\frac{2}{35}\)?
b) dla wyznaczonej liczby kul żółtych i czerwonych oblicz prawdopodobieństwo tego, że wybierając losowo dwie kule otrzymamy jedną kulę czerwoną, a drugą żółtą.

Odp.:a) 4 żółte, 11 czerwonych;
b) \(\frac{44}{105}\)

[ewelawwy]

a) x-kule żółte, x>1
15-x - kule czerwone
\(P(A)=\frac 2{35}\\
P(A)=\frac{{x\choose 2}}{{15\choose 2}}=\frac{\frac{x!}{(x-2)!\cdot 2!}}{\frac{15!}{2!\cdot 13!}}=\frac{x!}{(x-2)!\cdot 2!}\cdot \frac{2!\cdot 13!}{15!}=\frac{(x-2)!(x-1)x\cdot 13!}{(x-2)!\cdot 13!\cdot 14\cdot 15}=\frac{x(x-1)}{210}\\
\frac 2{35}=\frac{x(x-1)}{210}\\
420=35(x^2-x)\\
12=x^2-x\\
x^2-x-12=0\\
x=-3<1 \; \vee \; x=4\)
kul żółtych jest 4, a czerwonych 11

[ewelawwy]

b)
\(P(B)=\frac{ {4\choose 1}{11\choose 1}}{{15\choose 2}}=\frac{44}{105}\)