kilka zadan na prawdopodobienstwo

[gosia979]

Zad. 16
W dziesięciu jednakowych urnach znajdują się kule. W czterech urnach jest po l6 białych i po 8 czarnych kul, a w pozostałych po 15 białych i po 5 czarnych. Sięgamy losowo do jednej z urn i losujemy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej.
Zad. 17
Z urny zawierającej 3 kule białe i 2 kule czarne wybieramy losowo jedną kulę i bez sprawdzania koloru wkładamy ją do urny drugiej zawierającej 4 kule białe i 5 czarnych. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowana kula z drugiej urny będzie czarna.
Zad. 18
Z odcinków o długościach 1,2,3,4,5,6 wybieramy losowo trzy różne odcinki. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że z wylosowanych odcinków można skonstruować: a/ trójkąt
b/ trójkąt ostrokątny c/ trójkąt prostokątny d/ trójkąt rozwartokątny
Zad. 19
Ze zbioru liczb { 1,4,5,6,7} losujemy kolejno bez zwracania dwie liczby. Oblicz
prawdopodobieństwo zdarzeń:
a/ A - suma wylosowanych licz jest większa od 10
b/ B - za pierwszym razem wylosowano liczbę parzystą
c/ A| B - suma wylosowanych liczb jest większa od 10 pod warunkiem, że za pierwszym razem wylosowano liczbę parzystą.
Zad. 20
Wiadomo, że zdarzenia A i B są niezależne oraz \(3P(A')*[P(A) -2] + 3 \frac{1}{3} =0 iP (A \cap B)=0,2 . Oblicz : P(A), P(B) i P(A \cup B)\)

[radagast]

16.
\(C\)-zdarzenie, ze wylosowano kulę czarną
\(I\)- zdarzenie ,ze wylosowano 1 urnę (te z 8 czarnymi i 16 białymi)
\(II\)-zdarzenie ,ze wylosowano 2 urnę (te z 5 czarnymi i 15 białymi)

Ze wzoru na p-stwo całkowite:
\(P(C)=P(I) \cdot P(C|I)+P(II) \cdot P(C|II)= \frac{6}{10} \cdot \frac{8}{24} + \frac{4}{10} \cdot \frac{8}{24}= \frac{80}{240} = \frac{1}{3}\)

[radagast]

17.
\(C_1\) zdarzenie że z pierwszej urny wylosowano kulę czarną
\(B_1\) zdarzenie że z pierwszej urny wylosowano kulę białą
\(C_2\) zdarzenie że z drugiej urny wylosowano kulę czarną

Ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite:

\(P(C_2)=P(C_1) \cdot P(C_2|C1) +P(B_1) \cdot P(C_2|B1)= \frac{2}{5} \cdot \frac{6}{10}+ \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{10} =\frac{27}{50}\)

[radagast]

20.
Dla wygody oznaczę
\(P(A)=x\)
wtedy
\(P(A')=1-x\)

\(3P(A')*[P(A) -2] + 3 \frac{1}{3} =0\)
czyli
\(3(1-x) \cdot (x-2) + 3 \frac{1}{3} =0\)
stąd po rozwiązaniu równania kwadratowego i odrzuceniu pierwiastka większego od 1 otrzymuję
\(x= \frac{1}{3}\)
czyli
\(P(A)= \frac{1}{3}\)

Teraz skoro \(AiB\) są niezależne i \(P (A \cap B)=0,2\)
to
\(P (A ) \cdot P(B)=0,2\),
\(\frac{1}{3} P(B)=0,2\),
\(P(B)=0,6\),

\(P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)= \frac{1}{3} +0,6-0,2= \frac{1}{3} +0,4= \frac{11}{15}\)

[irena]

18.
\(\overline{\overline{\Omega}} = {6 \choose 3} =20\)

a)
\(A= \left\{234,\ 245,\ 256,\ 345,\ 346,\ 356,\ 456 \right\} \\P(A)=\frac{7}{20}\)

\(B= \left\{456 \right\} \\p(B)=\frac{1}{20}\)

c)
\(C= \left\{345 \right\} \\P(C)=\frac{1}{20}\)

\(P(D)=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}\)

[irena]

19.
\(\overline{\overline{\Omega}} =5\cdot4=20\\A= \left\{47,\ 56,\ 57,\ 67,\ 74,\ 75,\ 65,\ 76 \right\} \\P(A)=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}\)

b)
\(\overline{\overline{B}} =2\cdot4=8\\P(B)=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}\)

c)
\(A\cap B= \left\{47,\ 67,\ 65 \right\} \\P(A\cap B)=\frac{3}{20}\\P(A/B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\\P(A/B)=\frac{\frac{3}{20}}{\frac{8}{20}}=\frac{3}{8}\)