forum.zadania.info

W trójkącie ABC dane są AC = 10, BC = \(10\sqrt{2}\). Promien okrego opisanego na tym trojkacie wynosi 10. Oblicz miare kata ACB.

Narysuj okrąg o środku O i o promieniu 10, a w nim cięciwę AC o długości 10. Trójkąt ACO to trójkąt równoboczny, czyli kąt OCA ma miarę \(60^0\).
Poprowadź średnicę \(B_1B_2\) prostopadłą do promienia OC. Odcinki: \(CB_1\) i \(CB_2\) mają długość \(10\sqrt{2}\).
Trójkąty: \(AB_1C\ \ i\ \ AB_2C\) spełniają warunki zadania.
\(| \angle ACB_1|=60^0-45^0=15^0\\| \angle ACB_2|=60^0+45^0=105^0\)

Są 2 takie trójkąty. Miary kątów powyżej.

Inny sposób:
\(|AB|=c\\| \angle ACB|=\alpha\\P_{ABC}=\frac{10\cdot10\sqrt{2}c}{4\cdot10}=\frac{10\cdot10\sqrt{2}}{2}sin\alpha\\c=20sin\alpha\)
Z twierdzenia cosinusów:
\(c^2=10^2+(10\sqrt{2})^2-2\cdot10\cdot10\sqrt{2}cos\alpha\\400sin^2\alpha=100+200-200\sqrt{2}cos\alpha\\400(1-cos^2\alpha)=300-200\sqrt{2}cos\alpha\ /:100\\4-4cos^2\alpha=3-2\sqrt{2}cos\alpha\\4cos^2\alpha-2\sqrt{2}cos\alpha-1=0\\\Delta=8+16=24\\\sqrt{\Delta}=2\sqrt{6}\\cos\alpha=\frac{2\sqrt{2}-2\sqrt{6}}{8}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\ \ \vee\ \ cos\alpha=\frac{2\sqrt{2}+2\sqrt{6}}{8}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\\\alpha=105^0\ \vee\ \alpha=15^0\)

\(cos105^0=cos(60^0+45^0)=cos60^0cos45^0-sin60^0sin45^0\\cos15^0=cos(60^0-45^0)=cos60^0cos45^0+sin60^0sin45^0\)

Dlaczego alfa = 105 stopni jak tam wychodzi -0,2588 ?

W tablicach odczytałeś
\(cos\alpha\approx -0,2588198...\approx -0,2588\\cos 15^o\approx 0,2588\)
Minus przed wartością wymaga kąta (90+15)=105

Jeśli cos kąta rozwartego jest ujemny...