Granica

[Svanar]

\(\lim_{x\to \infty } ( \frac{2n^2 + 3}{n^2 -5 })^{2n^2-5}\) = ?

więc wymyśliłem tyle:

\(\lim_{x\to \infty } ( \frac{n^2(2 + \frac{3}{n^2}) }{n^2(1 - \frac{5}{n^2} ) })^{2n^2-5}\) = \(\lim_{x\to \infty } ( \frac{(2 + \frac{3}{n^2}) }{(1 - \frac{5}{n^2} ) })^{2n^2-5}\) = \(\lim_{x\to \infty } ( \frac{(2 + \frac{3}{n^2})^{2n^2-5} }{(1 - \frac{5}{n^2} )^{2n^2-5} })\)

i o ile jeszcze w mianowniku da się zrobić "e" tak z licznikiem nie bardzo....

[radagast]

Tak chyba lepiej (skuteczniej)
\(\lim_{n\to \infty } ( \frac{2n^2 + 3}{n^2 -5 })^{2n^2-5}\) =

\(\lim_{n\to \infty } ( \frac{2(2n^2 -10+ 13)}{2n^2 -10 }) ^{2n^2-5}\) =

\(\lim_{n\to \infty }2 ^{2n^2-10} (1+ \frac{ 13}{2n^2 -10 })^{2n^2-10} \cdot\lim_{n\to \infty } (1+ \frac{ 13}{2n^2 -10 })^{5}\) =

\(\lim_{n\to \infty }2 ^{2n^2-10} \cdot \lim_{n\to \infty } (1+ \frac{ 13}{2n^2 -10 })^{2n^2-10}\)\(= \infty \cdot e^{13} = \infty\)

[slawekstudia6]

lubię też granice dlatego mam pytanko
jakim cudem 2 jest przed granicą?

[radagast]

pomnożłam sobie mianownik przez 2 (uzgodniłam współczynniki), to zeby sie nic nie zmieniło licznik tez. A że granica ze stalej razy ciag to stała razy granica ciagu pozwolilam sobie zapisac tak jak wyżej

[slawekstudia6]

powinno być tak, wynik był oczywisty gorzej do niego dojść

\(\lim_{n\to \infty } ( \frac{2n^2 + 3}{n^2 -5 })^{2n^2-5} =\lim_{n\to \infty } ( 2 \cdot \frac{2n^2 + 3}{2n^2 -10})^{2n^2-5} =\lim_{n\to \infty } \left[2^{2n^2-5} \cdot ( \frac{2n^2 + 3}{2n^2 -10})^{2n^2-5} \right]=\\=\lim_{n\to \infty } \left[2^{2n^2-5} \cdot ( \frac{2n^2 -10+ 13}{2n^2 -10})^{2n^2-5} \right]=\\=\lim_{n\to \infty } \left[2^{2n^2-5} \cdot ( 1+\frac{ 13}{2n^2 -10})^{\frac{2n^2 -10}{ 13} \cdot \frac{ 13(2n^2-5)}{2n^2 -10}} \right]=[+ \infty \cdot e^{13}]=+ \infty\)

[radagast]

masz racje, te dwójkę należy podniesc do potęgi \(2n^2-5\) Rzeczywićie \(\infty\) zaraz poprawię u siebie