kostki

[doris99]

2. Rzucamy trzy razy kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia że suma oczek wyrzuconych w pierwszym i drugim rzucie jest mniejsza od liczby oczek wyrzuconych w trzecim rzucie.

Bardzo proszę o pomoc.

[radagast]

To jest na twierdzenie o p-stwie całkowitym:
Jeśli za trzecim razem wyrzucisz 1 to niem siły żeby suma pierwszego i drugiego rzutu byla mniejsza
identycznie jeśli za trzecim razem wyrzucisz 2.
Jesli za trzecim razem wyrzucisz 3 to jest szansa (ale tylko jedna)
Jesli za trzecim razem wyrzucisz 4 to są szanse(i to juz 3)
Jesli za trzecim razem wyrzucisz 5 to są szanse(i to juz 6)
Jesli za trzecim razem wyrzucisz 6 to są szanse(i to juz 10)
No i teraz wzór na p-stwo całkowite mówi,że:
\(P(A)= \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{36}+ \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{36}+\frac{1}{6} \cdot \frac{6}{36}+ \frac{1}{6} \cdot \frac{10}{36}= \frac{20}{216}= \frac{5}{54}\)

[doris99]

A da się to obliczyć w prostszy sposób? Bo zgłupiałam.

[Galen]

Da się narysować drzewo probabilistyczne:
Pierwsze piętro od góry ma 6 gałęzi ,na wszystkich prawdopodobieństwo
jest \(\frac{1}{6}\),a na końcach wyniki pierwszego rzutu:1 , 2 ,3 ,4 ,5 ,6 oczek.
Potem na drugim piętrze z każdej ilości oczek wychodzi znów po 6 gałęzi.
Pod każdą końcówką wpisz sumę oczek pierwszego i drugiego rzutu.
Trzecie piętro to tylko gałęzie o liczbie oczek mniejszej od wpisanej sumy.
Przy każdej nadal prawdopodobieństwo \(\frac{1}{6}\).
Schodzisz po gałęziach i mnożysz \(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}\), a potem sumujesz
Otrzymasz \(P(A)= \frac{20}{6^3}= \frac{5}{54}\)

[radagast]

To ja jeszcze dopowiem, ze "drzewo probabilistyczbe" , o którym pisze Galen to jest dokładnie obraz twierdzenia o przwdopodobieństwie całkowitym ("wymnożyć po gałązkach i dodac do kupy")

[doris99]

To jest na twierdzenie o p-stwie całkowitym:
Jeśli za trzecim razem wyrzucisz 1 to niem siły żeby suma pierwszego i drugiego rzutu byla mniejsza
identycznie jeśli za trzecim razem wyrzucisz 2.
Jesli za trzecim razem wyrzucisz 3 to jest szansa (ale tylko jedna)
Jesli za trzecim razem wyrzucisz 4 to są szanse(i to juz 3)
Jesli za trzecim razem wyrzucisz 5 to są szanse(i to juz 6)
Jesli za trzecim razem wyrzucisz 6 to są szanse(i to juz 10)
No i teraz wzór na p-stwo całkowite mówi,że:
\(P(A)= \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{36}+ \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{36}+\frac{1}{6} \cdot \frac{6}{36}+ \frac{1}{6} \cdot \frac{10}{36}= \frac{20}{216}= \frac{5}{54}\)

Ok ale jeżeli mam przy 4 rzucie kostką 3 szanse to jakie (1+1,1+2 i ??)

[radagast]

(1,1)(2,1) (1,2) (zakładamy rozróżnialność kostek , dlatego\(\overline{\overline{ \Omega }}=6^2\) (dla pierwszego rzutu)

[doris99]

hmmm. W takim razie dla 5 szans jest 6, a mianowicie (1,1)(2,1)(1,2)(1,3)(3,1,)(?,?)

[radagast]

jeszcze (4,1),(3,2)(2,3)(1,4)(2,2) razem 10 szt.
Najlepiej ustaw sobie te pary w kwadracie 6x6 i zaobserwuj prawidłowość z sumą elementów.