Szeregi

[krzysb6]

Chciałbym prosić was o rozwiązanie takiego zadanka. Z góry dziękuje za pomoc.

Niech a1=a2=2 oraz an=0 dla n \(\in\) N - {1,2}.Obliczyć \(\sum_{n=1}^{ \infty }\) an

I jeszce jeśli możecie to takie:
Podac przykład funkcji rzeczywistej okreslonej na R, która nie jest ciągła w x0 = \(\frac{1}{2}\). Odpowiedź uzasadnić.

[domino21]

ja proponuje tak:

\(f(x)=\begin{cases} 5x+7 , \ \ x\in R-\left\{\frac{1}{2}\right\} \\ 0 , \ \ \ \ \ x=\frac{1}{2} \end{cases}\)

\(\lim_{x\to \frac{1}{2}^+} \ f(x)=\lim_{x\to \frac{1}{2}^-} \ f(x) \neq f(\frac{1}{2})\)

[krzysb6]

Czy mógłbyś wytłumaczyć czemu 5x+7 czy to jest po prostu obojętne jaka funkcja tylko bez miejsca zerowego w dziedzinie???
A te granice są to granice na końców przedziałów tej pierwszej funkcji i jeśli one nie równają się funkcji drugiej wtedy nie ma tam pochodnej w tym punkcie??

[domino21]

więc to mogłaby być również inna funkcja, ale taka, żeby f(1/2) nie równało się temu co zapisałem w drugim wierszu dla x=1/2


pytasz o ciągłość czy różniczkowalność funkcji?
jaki jest warunek ciągłości w punkcie x?

[krzysb6]

A wie może ktoś jak rozwiązac pierwsze? Bo według mnie to wychodzi 4 ale ja tu żadnej trudności jakieś nie widze, więc to nie może byc takie łatwe
Prosiłbym o wyznaczenie pochodnej z równania
\(\frac{x-sinx}{1+4x-e^{4x}}\)

[domino21]

z wyrażenia, a nie równania

\(y'=\frac{ (1-\cos x)(1+4x-e^{4x})-(x-\sin x)(4-4e^{4x})}{(1+4x-e^{4x})^2}\)

[krzysb6]

No tak wyrażenie...
Tylko źle napisałem bo to mam obliczyć granice \(\lim_{x\to 0 }\) \(\frac{x-sinx}{1+4x-e^{4x}}\). Z tego co mi wiadomo to gdy granica wychodzi \(\frac{0}{0}\) to trzeba korzystać z Reguły de l'Hospitala. Czyli pochodna licznika nad pochodną mianownika... no ale jakoś ta granica nie chce mi wyjsc.

[radagast]

\(\lim_{x\to 0 }\) \(\frac{x-sinx}{1+4x-e^{4x}}=^H\)

\(\lim_{x\to 0 }\) \(\frac{1-cosx}{4-4e^{4x}}=^H\)

\(\lim_{x\to 0 }\) \(\frac{sinx}{-16e^{4x}}= \frac{0}{-16} =0\)