Witam,
potrzebuje pomocy w naprowadzeniu na dobrą metodę rozwiązania następującego zadnia:
Zbadać monotoniczność ciągu \(b_{n}= \frac{2-n}{4-3n}\) obliczyć jego granicę a następnie korzystając z definicji uzasadnić poprawność otrzymanego wyniku.
Granica wyszła \(\frac{1}{3}\) zbadałem \(b_{n} - b_{n+1}\) i wychodzi dopiero monotoniczny od n>1 - dlaczego? jak rozwiązać poprawnie to zadanie.
z góry dziękuję!
zbadać granice oraz monotoniczność ciągu
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Galen
- Guru
- Posty: 18457
- Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 9161 razy
Granicę masz dobrą.
Badanie monotoniczności:
\(b_{n+1}-b_n= \frac{2-(n+1)}{4-3(n+1)}- \frac{2-n}{4-3n}= \frac{1-n}{1-3n}- \frac{2-n}{4-3n}= \frac{(1-n)(4-3n)-(2-n)(1-3n)}{(1-3n)(4-3n)}=\\
= \frac{9n^2+2}{(1-3n)(4-3n)}\)
Licznik jest dodatni,zatem o znaku otrzymanego wyrażenia zadecyduje mianownik.
Jest tam funkcja kwadratowa o dziedzinie naturalnej,jej wykresem będą punkty paraboli z ramionami do góry.
Wartości dodatnie funkcja ta osiągnie dla \(n \in N_+ \cap((- \infty ; \frac{1}{3}) \cup ( \frac{4}{3};+ \infty ))\)
Część wspólna to zbiór liczb naturalnych \(n \ge 2\)
Oznacza to,że różnica badana powyżej będzie dodatnia dla n>1.
Wniosek:Ciąg jest rosnący począwszy od drugiego wyrazu.
Oblicz ,dla sprawdzenia kilka początkowych wyrazów:
\(b_1=1\\
b_2=0\\
b_3= \frac{1}{5}\\
b_4= \frac{1}{4}\\
b_5= \frac{3}{11}....\)
Drugi wyraz jest mniejszy od pierwszego,ale każdy następny jest większy od drugiego.
Badanie monotoniczności:
\(b_{n+1}-b_n= \frac{2-(n+1)}{4-3(n+1)}- \frac{2-n}{4-3n}= \frac{1-n}{1-3n}- \frac{2-n}{4-3n}= \frac{(1-n)(4-3n)-(2-n)(1-3n)}{(1-3n)(4-3n)}=\\
= \frac{9n^2+2}{(1-3n)(4-3n)}\)
Licznik jest dodatni,zatem o znaku otrzymanego wyrażenia zadecyduje mianownik.
Jest tam funkcja kwadratowa o dziedzinie naturalnej,jej wykresem będą punkty paraboli z ramionami do góry.
Wartości dodatnie funkcja ta osiągnie dla \(n \in N_+ \cap((- \infty ; \frac{1}{3}) \cup ( \frac{4}{3};+ \infty ))\)
Część wspólna to zbiór liczb naturalnych \(n \ge 2\)
Oznacza to,że różnica badana powyżej będzie dodatnia dla n>1.
Wniosek:Ciąg jest rosnący począwszy od drugiego wyrazu.
Oblicz ,dla sprawdzenia kilka początkowych wyrazów:
\(b_1=1\\
b_2=0\\
b_3= \frac{1}{5}\\
b_4= \frac{1}{4}\\
b_5= \frac{3}{11}....\)
Drugi wyraz jest mniejszy od pierwszego,ale każdy następny jest większy od drugiego.
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.