zdanie 1. znajdź równanie elipsy o ogniskach F1=(1,1) F2=(9,1) która przechodzi przez punkt P=(5,-2)
zadanie 2. napisać równanie stycznej okregu \((x+3)^2+(y-4)^2=25\) w punkcie P=(0,0)
zadanie 3. znależć dlugość stycznej do okręgu \((x-9)^2+(y-7)^2=25\) poprowadzonej z punktu P=(2,-3)
zadanie 4. na okregu \(x^2+4x+y^2-3=0\) znaleźć punkt który jest polozone najbliżej(najdalej) od prostej x+y =0
styczne
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
4.
\((x+2)^2-4+y^2-3=0\\(x+2)^2+y^2=7\\S=(-2,\ 0)\\r=\sqrt{7}\\d=\frac{|-2+0|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}<\sqrt{7}\)
Prosta przecina okrąg w dwóch punktach. Można znaleźć punkty przecięcia- te punkty leżą na okręgu i prostej.
Trzeba więc znaleźć punkt najdalej położony od prostej.
Punkt ten to wspólny punkt prostej prostopadłej do danej prostej przechodzącej przez środek okręgu i okręgu.
\(x-y+k=0\\-2-0+k=0\\k=2\\x-y+2=0\)
\(y=x+2\\(x+2)^2+(x+2)^2=7\\2(x+2)^2=7\\x+2=\sqrt{\frac{7}{2}}\frac{\sqrt{14}}{2}\ \vee\ x+2=-\sqrt{\frac{7}{2}}=-\frac{\sqrt{14}}{2}\\x=\frac{\sqrt{14}-4}{2}\ \vee\ x=\frac{-\sqrt{14}-4}{2}\)
\(K_1=(\frac{\sqrt{14}-4}{2};\ \frac{\sqrt{14}}{2})\ \vee\ K_2=(\frac{-\sqrt{14}-4}{2};\ \frac{-\sqrt{14}}{2})\)
\(|\frac{\sqrt{14}-4}{2}+\frac{\sqrt{14}}{2}|=\sqrt{14}-2\\|\frac{-\sqrt{14}-4}{2}+\frac{-\sqrt{14}}{2}|=\sqrt{14}+2\)
Szukany punkt to punkt \(K_2\)
\((x+2)^2-4+y^2-3=0\\(x+2)^2+y^2=7\\S=(-2,\ 0)\\r=\sqrt{7}\\d=\frac{|-2+0|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}<\sqrt{7}\)
Prosta przecina okrąg w dwóch punktach. Można znaleźć punkty przecięcia- te punkty leżą na okręgu i prostej.
Trzeba więc znaleźć punkt najdalej położony od prostej.
Punkt ten to wspólny punkt prostej prostopadłej do danej prostej przechodzącej przez środek okręgu i okręgu.
\(x-y+k=0\\-2-0+k=0\\k=2\\x-y+2=0\)
\(y=x+2\\(x+2)^2+(x+2)^2=7\\2(x+2)^2=7\\x+2=\sqrt{\frac{7}{2}}\frac{\sqrt{14}}{2}\ \vee\ x+2=-\sqrt{\frac{7}{2}}=-\frac{\sqrt{14}}{2}\\x=\frac{\sqrt{14}-4}{2}\ \vee\ x=\frac{-\sqrt{14}-4}{2}\)
\(K_1=(\frac{\sqrt{14}-4}{2};\ \frac{\sqrt{14}}{2})\ \vee\ K_2=(\frac{-\sqrt{14}-4}{2};\ \frac{-\sqrt{14}}{2})\)
\(|\frac{\sqrt{14}-4}{2}+\frac{\sqrt{14}}{2}|=\sqrt{14}-2\\|\frac{-\sqrt{14}-4}{2}+\frac{-\sqrt{14}}{2}|=\sqrt{14}+2\)
Szukany punkt to punkt \(K_2\)