forum.zadania.info

\(\sqrt{1+(-\sqrt{3})^2}=\sqrt{4}=2\)
\(z=2(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)\)

\(cos\phi=\frac{1}{2}\ \wedge\ sin\phi=-\frac{\sqrt{3}}{2}\\\phi=\frac{5}{3}\pi\)

\(56\cdot\frac{5}{3}\pi=\frac{280}{3}\pi=46\cdot2\pi+\frac{4}{3}\pi\)

\(z^{56}=2^{56}(cos(\frac{4}{3}\pi)+i\ sin(\frac{4}{3}\pi))=2^{56}(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)=-2^{55}(1+i\ \sqrt{3})\)

\(z=2(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)\) skąd to ?

\(2(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)=(1-i\sqrt{3})\)

Zamieniłam sobie postać liczby na postać trygonometryczną:
\(z=1-i\sqrt{3}=2(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})=2(cos(\frac{5}{3}\pi)+i\ sin(\frac{5}{3}\pi))\)

zgadza się a teraz ten kąt skąd się wziął ? skąd wiadomo że to akurat 5/3

Bo spośród kątów z przedziału \(<0;\ 2\pi>\) to właśnie kąt \(\phi=\frac{5}{3}\) spełnia warunki:
\(cos\phi=\frac{1}{2}\ \ i\ \ sin\phi=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

5/3 pi tak konkretnie
stąd, że sinus tego kąta ma być równy \(-\frac{\sqrt{3}}2\) a cosinus 1/2

bo ja mam kąt -pi/3

Ale wziąłeś kąt, którego wartości funkcji są takie same, kąt równoważny, tylko nie z tego przedziału. \(-\frac{\pi}{3}+2\pi=\frac{5}{3}\pi\)