forum.zadania.info

Witam. Mam wielką prośbe aby ktoś pomógł mi rozwiązać zadanka z tej listy, bo to jest moje być albo nie być na studia. W innym wypadku mam nie zaliczone ćwiczenia. Liczę na waszą pomoc.

1. Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty P \(\left(1,2,1 \right)\) i równoległej do wektorów \(\vec{u}= \left[2,5,-3 \right]\) i \(\vec{v}= \left[0,3, 2 \right]\).

2. Napisać w postaci kierunkowej i parametrycznej równania prostej przechodzącej przez dwa punkty A \(\left( 3, -1,2\right)\) i B \(\left(1, 1, 5 \right)\)

3. Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez dwie proste równoległe:
\(\frac{x}{7}= \frac{y+2}{3}= \frac{z-1}{5}
\frac{x-1}{7}= \frac{y-3}{3}= \frac{z+2}{5}\)

4. Prostą
\(\begin{cases}4x-3y+z-3=0\\ 2x+3y+z-6=0\end{cases}\)
zapisać w postaci kierunkowej i parametrycznej.

5. Wyznaczyć odległość między płaszczyznami równoległymi \(\pi1\): 11x-2y-10z+20=0 oraz \(\pi2\): 11x-2y-10z+65=0

6. Znaleźć punkt wspólny prostej
L: \(\begin{cases}x-y=0\\x+y-z-1=0\end{cases}\)
i płaszczyzny \(\pi\) : 5x + 2y – 3z – 3 = 0.

1.
Na początek wyznaczmy wektor \(\vec{w}\) prostopadły do szukanej płaszczycny:
\(\vec{w}= \vec{u} \times \vec{v}= {[10,-4,6]} \parallel {[5,-2,3]}\)
Szukana płaszczyzna ma więc równanie \(5x-2y+3z+D=0\).
Płaszczyzna przechodzi przez punkt (1,2,1) zatem \(5-4+3=-D\), \(D=-4\)
odp: Równanie płaszczyzny to \(5x-2y+3z-4=0\).

2.
Kierunkowej nie umiem (moim zdaniem to prosta w przestrzeni nie ma równania kierunkowego... ale może coś źle wiem)
parametryczną umiem:
A=(3,-2,1); B=(1,1,5) zatem \(\vec{AB}=[-2,3,4]= \alpha\)
równanie parametryczne prostej to \(p(t)= \alpha t+A\) stąd
odp: \(p(t)=(-2t+1,3t+1,4t+5)\)

Jeśli chodzi o te pierwsze zadanko to skąd się wzięło \(\left[ 10,-4, 6\right]\) ?

Chciałem edytować post ale chyba nie ma takiej opcji czyli zatem skąd się wzięło (jak obliczyć) to \(\left[10, -4, 6 \right]\)oraz \(\left[5, -2, 3 \right]\)?

Moj nauczyciel nazywał to "metodą paluszkową"
1, zapisz jeden wektor pod drugim
2, w celu wyznaczenia wspólrzędnej x, zakryj kolumne x (paluszkiem) i policz wyznacznik tego co zostało.
3, w celu wyznaczenia wspólrzędnej y, zakryj kolumne y (paluszkiem) i policz wyznacznik tego co zostało, a potem pomnóż to przez -1
4, w celu wyznaczenia wspólrzędnej z, zakryj kolumne z (paluszkiem) i policz wyznacznik tego co zostało.

To co wyszło to iloczyn wektorowy tych dwóch wektorów czyli wektor prostopadły do nich obu, o długości takiej jak pole równoległoboku na nich rozpietego (z dokładnościa do jednostki). Wiem że to nie jest proste (wymaga ciut wysiłku i treningu)

Okej ja spróbuje sam to jeszcze ogarnąć bo w stresie przy tablicy nie będę widział palców ale dzięki wielkie

Już znalazłem znajomą, która mi zrobi i wytłumaczy te zadania ! zatem dziękuje za zainteresowanie i reszty nie trzeba już robić ! temat można zamknąć. pozdrawiam

3.
Tu jestem trochę niedouczona więc będzie naokoło:
Pierwsza prosta przechodzi przez punkty A=(0,-2,a) B=(b,-2,1) (przez wiele innych też ale akurat te mi się udało "wyłapać")
Druga prosta przechodzi przez punkty C=(1,3,c) D=(d,3,-2) (przez wiele innych też ale akurat te mi się udało "wyłapać")
\(\vec{AB}=[b,0,1-a]\)
\(\vec{CD}=[d-1,0,-2-c]\)
\(\vec{AB} \parallel \vec{CD} \Leftrightarrow \frac{b}{d-1}= \frac{1-a}{-2-c}\)
No to niech b=1,a=0,d=2,c=3 . Wówczas A=(0,-2,0); B=(1,-2,1); C=(1,3,-3); D=(2,3,-2)
\(\vec{AB} = [1,0,1]\)
\(\vec{AC} = [1,5,-3]\)
i teraz tak jak w zadaniu 1.:
\(\vec{AB} \times \vec{AC}=[-5,4,5]\)
Płaszczyzna ma równanie \(-5x+4y+5z+D=0\) , ponieważ przechodzi przez punkt A=(0,-2,0) to \(D=8\)
odp. Szukane równanie to \(-5x+4y+5z+8=0\)

To się na pewno da jakoś prościej ale nie wiem jak , no i mogłam się pomylić w rachunkach. Prześledź to i jeśli czegoś nie rozumiesz pytaj.
A ! "metoda paluszkowa" przy tablicy powinna się nazywać "metoda rączkowa" (paluszk to za mało)

3, w celu wyznaczenia wspólrzędnej y, zakryj kolumne y (paluszkiem) i policz wyznacznik tego co zostało, a potem pomnóż to przez -1

A jeśli chodzi o ten punkt to dlaczego trzeba policzyć przez -1 ? jest do tego wzór? jeśli tak to proszę napisz jaki

Raczej należy to traktować jako regułę mnemotechniczną. To pewnie jest do udowodnienia , że tak jest ... Jeśli Ci na prawdę zależy to pomyślę nad dowodem ale chyba nie będzie łatwo...

Nie no już zauważyłem, że we wszystkich zadaniach tego typu tak jest wydaje mi się, że coś źle zrobiłaś w tych zadaniach ale i tak dzięki wielkie za pomoc

Ja się niestety dość często mylę w rachnkach. Jeśli coś Ci się nie zgadza to pytaj. Będziemy korygować. Zasada postępowania , z całąpewnością, jest poprawna, chociaż, tak jak pisałam , w zadaniu 3 przypuszczalnie nie najprostsza