Artykuł: Matura - wiarygodny test kompetencji?

[robbo]

Link do artykułu

Jeszcze kilka mniej, lub bardziej podchwytliwych pytań związanych związanych z krotnościami pierwiastków:
Ile rozwiązań mają równania:
\(x^{10}=1\\x^{\frac{4}{3}}=0\\(\sqrt{x})^4=0\)
\((\sin x)^2=0\) w przedziale \(\langle0,\frac{\pi}{2})\) ??

[Johny94]

1. Dwa rozwiązania: x=1 lub -1
2. Jedno rozwiązanie: x=0
3. Jedno rozwiązanie: x=0

[robbo]

Małe wyjaśnienie - przykłady są podchwytliwe jeżeli uważamy (tak jak OKE), że równanie \(x^4=0\) ma 4 rozwiązania.

[kwoch]

Dla tych co bazują tylko na nowych podręcznikach, a myślą że stare są do kosza (bo podstawa programowa itp. ) polecam spojrzeć na: Alicja Cewe, Halina Nahorska- matura zbiór zadań, część I, strona 16, zadanie 70( a propos zadania 8... hmm...). I polecam jednak wszystkim, który przygotowują się do matury rozszerzonej wstęp do antykwariatu i zakup starszego typu wydawnictw.

[MrVonzky]

a czy poprawne jest napisanie, że równanie ma 10rozwiązań w dziedzinie zespolonej?

[Galen]

Zawsze przy takich zadaniach szukam,czy jest napisane dwa RÓŻNE pierwiastki.
I czasem nie mam rozwiązania zgodnego z odpowiedzią w książce,bo tu nie ma jednoznacznej interpretacji.

[snajpy]

Witam Serdecznie!

Wyznaczeniu tych wartości parametru m, dla których suma odwrotności pierwiastków równania \((2m+1)x-(m+3)x+(2m+1)=0\) jest większa od 1.

Warunek na to by \((2m+1) \neq 0\) jest KONIECZNY bo od kiedy to funkcja liniowa ma pierwiastki ? Z tego co mi wiadomo ma pierwiastek Zatem aby powyższa funkcja miała pierwiastki musi być kwadratowa

Co do pierwiastków i rozwiązań: \((x-1)^2 = 0\) ma dwa pierwiastki, ale jedno rozwiązanie.

Pozdrawiam
MD

[robbo]

Warunek na to by \((2m+1) \neq 0\) jest KONIECZNY bo od kiedy to funkcja liniowa ma pierwiastki ? Z tego co mi wiadomo ma pierwiastek Zatem aby powyższa funkcja miała pierwiastki musi być kwadratowa

Nikt nie twierdzi, że ten warunek jest niepotrzebny - ale 0 punktów za jego brak jest bez sensu.

Poza tym Twoja argumentacja jest dziwna: Twoim zdaniem równanie x=1 ma rozwiązania, czy nie?

Co do pierwiastków i rozwiązań: \((x-1)^2 = 0\) ma dwa pierwiastki, ale jedno rozwiązanie.

Mylisz się, ma jeden pierwiastek (podwójny) i jedno rozwiązanie.

[irena]

Zawsze przy takich zadaniach szukam,czy jest napisane dwa RÓŻNE pierwiastki.
I czasem nie mam rozwiązania zgodnego z odpowiedzią w książce,bo tu nie ma jednoznacznej interpretacji.

To prawda. Ja pamiętam, że dwa pierwiastki, znaczyło kiedyś dwa różne pierwiastki. Cieszę się, że robbo napisał, że to równanie ma jeden pierwiastek, tyle, że podwójny. Ale, niestety, różne podręczniki różnie to traktują...

[snajpy]

Witam Serdecznie!

Chciałbym sprostować i wyjaśnić
Funkcja kwadratowa ma 2 pierwiastki wtedy i tylko wtedy gdy \(\Delta \ge 0\)

1. \(\Delta > 0\) wtedy są dwa różne pierwiastki
2. \(\Delta = 0\) wtedy są dwa takie same pierwiastki - pierwiastek podwójny \(x_1 = x_2\)

N-krotny pierwiastek oznacza, że występuje on n razy.
Tak samo jest z wygraną. Wygrana to 1000zł. Dostajemy podwójną wygraną - czyli 2 x po 1000zł, a nie 1000zł

Funkcja kwadratowa ma natomiast rozwiązania:
1. \(\Delta > 0\) wtedy są dwa rozwiązania
2. \(\Delta = 0\) wtedy jest jedno rozwiązanie
3. \(\Delta < 0\) wtedy nie ma rozwiązania

Nie wiem na jakiej Państwo się literaturze opieracie, ale dla mnie jest to oczywista - oczywistość.
Jeśli dysponują Państwo jakąś literaturą, która mówi inaczej to proszę się podzielić tytułem i autorem

Pozdrawiam
MD

[robbo]

Proszę bardzo: S. Lang, Algebra, strona 123

Liczbę b nazywamy pierwiastkiem lub zerem wielomianu f, jeżeli f(b)=0

Jakie są pierwiastki wielomianu \(f(x)=(x-1)^2\)? - jest jeden x=1.

Ta sama książka strona 132

Liczbę m nazywamy krotnością pierwiastka a wielomianu f, jeżeli f dzieli się przez \((x-a)^m\) i nie dzieli się przez \((x-a)^{m+1}\)

W myśl tej definicji pierwiastek równania \((x-1)^2\) jest pierwiastkiem 2-krotnym. Nie oznacza to jednak, że to równanie ma dwa pierwiastki - nie, ma jeden 2-krotny.

Mówiąc bardziej po ludzku: krotność pierwiastka to jest dodatkowa cecha, którą można przypisać pierwiastkom wielomianów, ale cecha ta nie zmienia zbioru rozwiązań równania. Równania \(x-2=0\) i \((x-2)^2\) mają dokładnie takie same zbiory rozwiązań/pierwiastków. Natomiast pierwiastki te różnią się krotnościami. Formalnie całą sytuację bardzo porządkuje język dywizorów, ale to bardzo nas oddala od matematyki szkolnej.

W tym co piszesz popełniasz co najmniej dwa błędy
- odróżniasz pierwiastki od rozwiązań równania, a to jest jedno i to samo
- liczysz elementy zbioru {1,1} podwójnie, a przecież to jest zbiór jednoelementowy

Jeżeli nadal Cię nie przekonałem, to spróbuj odpowiedzieć na następujące trzy pytania:
- podaj definicję pierwiastka równania i rozwiązania równania, żeby można było stwierdzić, że to dwie różne rzeczy
- podaj formalną definicję zbioru pierwiastków równania f(x)=0, która pozwala stwierdzić, że równanie \((x-1)^2=0\) ma dwa pierwiastki
- zastosuj wymyśloną wyżej definicję do równań \(x^{\frac{4}{3}}=0\) i \(x^{\frac{8}{6}}=0\) i daj znać ile mają one rozwiązań.

ps.1 Jeżeli spojrzysz na swój ostatni post, to jest on trochę nieelegancki - żądasz dowodów z literatury, a sam swoją wypowiedź argumentujesz 'oczywistą oczywistością' - w ten sposób trudno Ci będzie kogoś przekonać do swoich argumentów.

ps.2 Jak już kilka razy pisałem sprawa krotności pierwiastków jest dość delikatna i tak naprawdę pojawia się w szkole tylko z jednego powodu: wzorów Viete'a. Z tego powodu jest naturalne, że problem ten jest sztuczny zarówno dla uczniów jak i nauczycieli - problemem jest jednak to, że eksperci OKE tego nie rozumieją i sami popełniają błędy. Powtórzę raz jeszcze: tego typu wątpliwości nie powinny mieć miejsca przy okazji zadań maturalnych.

[snajpy]

Przepraszam, że tak bez przykładów i odniesień do literatury przekazałem moje spostrzeżenia:

Proszę spojrzeć na:
http://kms.ue.poznan.pl/bartkowiak/mate ... omiany.pdf

http://reference.wolfram.com/mathematic ... Roots.html
http://www.wolframalpha.com/input/?i=CountRoots[+(x-1)^17,+{x,+0,+1}]

Oprogramowanie Wolfram to jeden z najbardziej zaawansowanych silników matematycznych, który wykorzystuje
prawa i twierdzenia matematyczne. Korzysta tutaj z zasadniczego twierdzenia algebry. Oczywiście nie jest to poziom
szkoły średniej.

Podstawowe twierdzenie algebry.
Dowolny wielomian stopnia n nad ciałem liczb zespolonych ma dokładnie n pierwiastków
zespolonych (każdy pierwiastek liczymy tyle razy, ile wynosi jego krotność)

Nie zajmuję się zawodowo algebrą, ale metodami numerycznymi. Pamiętam, że w liceum mój matematyk
rozróżniał dwa różne pierwiastki i dwa takie same pierwiastki.

Pozdrawiam
MD

[robbo]

Proszę spojrzeć na:
http://kms.ue.poznan.pl/bartkowiak/mate ... omiany.pdf

Podstawowe twierdzenie algebry.
Dowolny wielomian stopnia n nad ciałem liczb zespolonych ma dokładnie n pierwiastków
zespolonych (każdy pierwiastek liczymy tyle razy, ile wynosi jego krotność)

Właśnie dlatego w nawiasie jest dopisek jak należy liczyć pierwiastki, bo to nie jest w żaden sposób 'oczywiste'. Zresztą w książkach algebraicznych zazwyczaj zasadnicze twierdzenie algebry formułuje się ostrożniej: każdy wielomian o współczynnikach zespolonych ma co najmniej jeden pierwiastek. A jeżeli już koniecznie chce się napisać o całkowitej liczbie pierwiastków, to można to zrobić tak jak np. tu:
http://pl.wikipedia.org/wiki/Zasadnicze ... ie_algebry

http://reference.wolfram.com/mathematic ... Roots.html
http://www.wolframalpha.com/input/?i=CountRoots[+(x-1)^17,+{x,+0,+1}]
Oprogramowanie Wolfram to jeden z najbardziej zaawansowanych silników matematycznych, który wykorzystuje
prawa i twierdzenia matematyczne. Korzysta tutaj z zasadniczego twierdzenia algebry. Oczywiście nie jest to poziom
szkoły średniej.

Tu nie ma żadnej sprzeczności, ta funkcja po prostu liczy krotności pierwiastków - to nie ma nic wspólnego z samą definicją pierwiastka.

Nie zajmuję się zawodowo algebrą, ale metodami numerycznymi. Pamiętam, że w liceum mój matematyk
rozróżniał dwa różne pierwiastki i dwa takie same pierwiastki.

No bo wszyscy tak robią - ja też. Pisałem nawet dlaczego - to jest wygodne do wzorów Viete'a. Trzeba jednak pamiętać, że to jest tylko taki trick na użytek tej sytuacji.

[kamil13151]

W zbiorze Kiełbasy jest też np.

Jeśli trójmian ma jeden pierwiastek \(x_0\), to \(y=a(x-x_0)^2\)

, a więc CKE robi sobie w ciu*a, gdzie *=l.

[matirafal]

Link do artykułu

Jeszcze kilka mniej, lub bardziej podchwytliwych pytań związanych związanych z krotnościami pierwiastków:
Ile rozwiązań mają równania:
\(x^{10}=1\\x^{\frac{4}{3}}=0\\(\sqrt{x})^4=0\)
\((\sin x)^2=0\) w przedziale \(\langle0,\frac{\pi}{2})\) ??

Pierwsze pytanie jakie bym zadał, to proszę o podanie zbioru w jakim operujemy.