1. Dane:
\(d_z = d_m + d_x \\
d_x = 10,4 g/cm^3 \\
d_m = ? \\
d = 14,4 g/cm^3 \\
m_z = 28 g \\
m_m = 11 g \\
m = 28 + 11 = 39 g \\\)
Objętość stopu metali była równa objętości dwóch jego składników. Znamy wzór na objętość, wynikający ze wzoru na gęstość:
\(d = \frac{m}{v} \\
v = \frac{m}{d}\)
Możemy więc zapisać:
\(\frac{m}{d} = \frac{m_z}{d_z} + \frac{m_m}{d_m}\)
I tu generalnie kończy się fizyka
Pod symbol złota podstawiamy to, co wiemy o jego gęstości z treści zadania:
\(\frac{m}{d} = \frac{m_z}{d_m + d_x} + \frac{m_m}{d_m}\)
Ze wzoru musimy wyznaczyć
\(d_m:\), mnożymy więc wszystko przez wspólne mianowniki (czyli obustronnie razy
\((d_m + d_x) * d * d_m\).
Otrzymujemy:
\((d_m + d_x) * d_m * m = d * d_m * m_z + (d_m + d_x) * d * m_m\)
Niestety, to, co nas interesuje jest w nawiasach, musimy więc wszystko przez nie wymnożyć:
\(d_m^2 * m + d_x * d_m * m = d * d_m * m_z + d_m * d * m_m + d_x * d * m_m\)
Przerzucamy wszystko na jedną stronę i porządkujemy, przygotowując do skorzystania z równania kwadratowego:
\(d_m^2 * m + d_x * d_m * m - d * d_m * m_z - d_m * d * m_m - d_x * d * m_m = 0 \\
d_m^2 * m + d_m (d_x * m - d * m_z - d * m_m) - d_x * d * m_m = 0\)
Wyliczamy wyróżnik równania:
\(\Delta = b^2 - 4ac \\
\Delta = (d_x * m - d * m_z - d * m_m)^2 - 4 * m * (-d_x * d * m_m) \\
\Delta = 24336 + 256988,16 \\
\Delta = 281324,16 \\
\Delta > 0 \\
b = - 156\)
Rozwiązujemy dwoma sposobami:
\(x_1 = \frac{- b - \sqrt{\Delta}}{2a} \\
x_1 = \frac{ - (-156) - \sqrt{281324,16}}{2 * 39} \\
x_1 = \frac{156 - 530,4}{78} \\
x_1 = - 4,8; odrzucamy \\
x_2 = \frac{- b + \sqrt{\Delta}}{2a} \\
x_2 = \frac{156 + \sqrt{281324,16}}{2 * 39} \\
x_2 = 8,8;\)
Gęstość miedzi:
\(8,8 g/cm^3\)
Gęstość złota:
\(8,8 + 10,4 = 19,2 g/cm^3\)
2. x, y - wartości oporów
\(\begin{cases} x + y = 8 \\
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{\frac{10}{9}}\end{cases}\)
\(\begin{cases}y = 8 - x \\
y + x = \frac{9xy}{10}\end{cases}\)
\(\begin{cases}y = 8 - x \\
10y + 10x = 9xy\end{cases}\)
\(\begin{cases}y = 8 - x \\
10(8 - x) + 10x = 9x(8 - x)\end{cases}\)
\(\begin{cases}y = 8 - x \\
80 - 10 x + 10x = 72x - 9x^2\end{cases}\)
\(\begin{cases}y = 8 - x \\
9x^2 -72x + 80 = 0 \end{cases}\)
\(\Delta = b^2 - 4ac \\
\Delta = 5184 - 2880 \\
\Delta = 2304 \\
\Delta > 0 \\
x_1 = \frac{- b - \sqrt{\Delta}}{2a} \\
x_1 = \frac{ 72 - \sqrt{2304}}{2 * 9} \\
x_1 = 1\frac{1}{3}; \\
x_2 = \frac{- b + \sqrt{\Delta}}{2a} \\
x_2 = \frac{72 + \sqrt{2304}}{2 * 9} \\
x_2 = 6\frac{2}{3};\)
Po sprawdzeniu w układzie okazuje się, że wyliczone wartości to wartości oporów: x i y, więc:
\(x = 1\frac{1}{3} \Omega; \\
y = 6\frac{2}{3} \Omega;\)
Na razie tyle, ostatnie zobaczę później.