forum.zadania.info

Podstawą ostrosłupa jest trapez równoramienny. Krótsza podstawa i ramię tego trapezu są tej samej długości. Wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa mają długosć 61 cm, w wysokosc ostrosłupa to 60 cm. Wiedząc, ze środek okręgu opisanego na trapezie jest srodkiem dluzszej podstawy trapezu, oblicz pole tego trapezu.
Ma wyjść 363 \sqrt{3}/4 cm^2

Nazwij trapez ABCD. AB- dłuższa podstawa trapezu. O- środek odcinka AB.
|OA|=|OB|=|OC|=|OD|=R- promień okręgu opisanego na trapezie.
|AC|=|BC|=|CD|=c- boki trapezu równe (ramiona i krótsza podstawa

Trójkąty: AOC, DOC, COB- przystające trójkąty równoramienne. W tych trójkątach:
\(| \angle OAC|=| \angle ACO|=| \angle ODC|\)

W trapezie:
\(| \angle OAC|+| \angle ADC|=180^0\\\alpha+\alpha+\alpha=180^0\\\alpha=60^0\)

Trapez ten składa się z trzech równobocznych trójkątów o boku R.

Wysokość ostrosłupa spada w środku okręgu opisanego na trapezie, więc z twierdzenia Pitagorasa:
\(60^2+R^2=61^2\\R^2=3721-3600=121\\R=11cm\)

Pole trapezu:
\(P_{ABCD}=3\cdot\frac{R^2\sqrt{3}}{4}\\P_{ABCD}=3\cdot\frac{11^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3\cdot121\sqrt{3}}{4}=\frac{363\sqrt{3}}{4}cm^2\)

Dziękuję za pomoc.

Czy przypadkiem w "drugim akapicie" nie powinien być kąt \angle AOD zamiast \angle OAC?? Pozdrawiam