Badanie zbieżnośći szeregów

[ZITARIX]

Witam tym razem mam parę pytań do zbieżności szeregów. Tutaj niestety bardziej będę polegał na Waszej wiedzy
Zbadaj zbieżność
\(\sum \frac{1}{ \sqrt{n}+ \sqrt{n+3} }\)
I teraz pomnożyłem to przez \(\sqrt{n} - \sqrt{n+3}\) i zauważyłem wypisując kolejno pierwsze wyrazy, że szereg ten równa się \(-( \frac{1}{3} + \frac{ \sqrt{2} }{3} + \frac{ \sqrt{3} }{3} ) + \frac{ \sqrt{n+1} + \sqrt{n+2} + \sqrt{n+3} }{3}\)
Czy wobec tego mogę zapisać że skoro w szeregu n dąży do nieskończoności to jego wartość także, a więc szereg jest rozbieżny do + nieskończoności?


Teraz mam także dwa zadania zbadaj zbieżność tylko tutaj to już chyba tylko z kryteriów porównawczych, bo dokładnie obawiam się nie da.
\(\sum \frac{1}{n^{2}sin (\frac{1}{n}) }\)
i tutaj mam problem, na poprzednie zadania udawało mi się użyć minorant, albo majorant i udowodnić że są odpowiednio rozbieżne albo zbieżne ale na te przykłady nie mogę tego użyć, bo nie wychodzi:) tzn nie potrafię potem pokazać czy szybciej maleje ten sinus do zera czy rośnie n do kwadratu

i ostatnie
\(\sum \frac{5^{n}}{2^{n}+6^{n}}\)

[gpl1260]

1. Przemyśl to raz jeszcze.

2. Wykorzystaj fakt, że \(n\sin\frac{1}{n}=\frac{\sin\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}\to 1\) gdy \(n\to\infty\).

3. Oszacowanie jest dość trywialne: \(0<\frac{5^n}{2^n+6^n}<\frac{5^n}{0+6^n}\).

[ZITARIX]

W 2 już widzę jak to ma działać zapiszę warunek konieczny zbieżności szeregu i pokażę że limes ciągu = n a przy n dążącym do nieskończoności wyjdzie mi nieskończoność czyli jest rozbieżny, aczkolwiek przy 3 to mam wzór na sumę ciągu geometrycznego, z którego udowodnię zbieżność. Dzięki:) każda pomoc przed kolokwium sie przyda.