Funkcje

[cherryvis3]

1.Wykazać, że jeśli funkcja \(f\) : \(R\)\(\longrightarrow\) \(R_{+}\) jest rosnąca, a funkcja \(g\): \(R\)\(\longrightarrow\) \(R_{+}\) jest malejąca , to funkcja \(h\) określona wzorem jest \(h(x)\)= \(\frac{f(x)}{g(x)}\) rosnąca.
2. Wykazać, że jeśli \(f\) jest funkcją malejącą, to jest funkcją różnowartościową.
3.Sprawdzić, czy funkcje \(f\) i \(g\) są równe
(a) \(f(x)\)= \(\frac{x-1}{x-1}\) \(\\)\(\\)\(\\)\(\\)\(\\)\(\\)\(\\)\(\\)\(\\)\(\\) \(g(x)\)=1
(b)\(f(x)\)= \(\sqrt{x^4}\) \(\\)\(\\)\(\\)\(\\)\(\\)\(\\)\(\\)\(\\)\(\\)\(\\) \(g(x)\)=\(x^{2}\)
(c)\(f(x)\)= \(\sqrt{x}\)\(\cdot\) \(\sqrt{x-1}\)\(\\)\(\\)\(\\) \(g(x)\)=\(\sqrt{x(x-1)}\)

[irena]

3.
a)
Dziedziny nie są takie same, więc funkcje nie są równe
\(D_f=R \setminus \left\{1 \right\} \\D_g=R\)

b)
Są równe

c)
\(D_f=<1;\ \infty)\\D_g=(-\infty;\ 0)\cup(1;\ \infty)\)
Funkcje nie są równe

[irena]

2.
Niech
\(a,\ b\ \in\ D_f\ \wedge\ a\neq\ b\\a<b\ \Rightarrow \ f(a)>f(b)\ \Rightarrow \ f(a)\neq\ f(b)\\a>b\ \Rightarrow \ f(a)<f(b)\ \Rightarrow \ f(a)\ \neq\ f(b)\)

[irena]

1.
\(a,\ b\in\ R\\f(a),\ f(b),\ g(a),\ g(b)\ >0\)

Niech
\(a<b\ \Rightarrow \ f(a)<f(b)\\a<b\ \Rightarrow \ g(a)>g(b)\ \Rightarrow g(b)-g(a)<0\)

\(h(a)-h(b)=\frac{f(a)}{g(a)}-\frac{f(b)}{g(b)}=\frac{f(a)\cdot\ g(b)-f(b)\cdot\ g(a)}{g(a)\cdot\ g(b)}<\frac{f(b)\cdot\ g(b)-f(b)\cdot\ g(a)}{g(a)\cdot\ g(b)}=\frac{f(b)\cdot[g(b)-g(a)]}{g(a)\cdot\ g(b)}<0\\a<b\ \Rightarrow \ h(a)-h(b)<0\ \Rightarrow \ h(a)<h(b)\)

Funkcja h(x) jest rosnąca.