Proszę o pomoc w zadaniach:
1. jakie są wszystkie asymptoty krzywej Kf: y=f(x), gdy f(x)= \(\frac{x^3+4x^2-3x}{x^2+3x+2}\)
2. jaka jest najmniejsza i największa wartość funkcji f:[1;4] ->R, gdy f(x) = \(8ln x - x^2\)
3. wyznaczyc ekstrema funkcji f:R \ {-1;1}, gdy f(x) = \(\frac{e^{-x}}{x^2-1}\) (w liczniku jest e do potęgi -x)
asymptoty, ekstrema, największa i najmniejsza wartość
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
domino21
- Expert
- Posty: 3725
- Rejestracja: 27 mar 2009, 16:56
- Lokalizacja: Skierniewice
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 1298 razy
- Płeć:
- Kontakt:
zad 3.
\(f(x)=\frac{e^{-x}}{x^2-1}
f'(x)=\frac{-e^{-x}(x^2-1)-2x \cdot e^{-x}}{(x^2-1)^2}=\frac{e^{-x}(1-x^2-2x)}{(x^2-1)^2}\)
\(f'(x)=0 \ \Leftrightarrow \ -x^2-2x+1=0 \ \Rightarrow \ x^2+2x-1=0
\Delta=4+4=8=(2\sqrt{2})^2
x_1=\frac{-2-2\sqrt{2}}{2}=-1-\sqrt{2}
x_2=\frac{-2+2\sqrt{2}}{2}=-1+\sqrt{2}\)
\(f'(x)>0 \ \Rightarrow \ x^2+2x-1<0 \ \Rightarrow \ x\in (-1-\sqrt{2};-1+\sqrt{2})
f'(x)<0 \ \Rightarrow \ x^2+2x-1>0 \ \Rightarrow \ x\in (-\infty;-1-\sqrt{2})\cup (-1+\sqrt{2};+\infty)\)
maksimum: \(x=-1+\sqrt{2}\)
minimum: \(x=-1-\sqrt{2}\)
\(f(x)=\frac{e^{-x}}{x^2-1}
f'(x)=\frac{-e^{-x}(x^2-1)-2x \cdot e^{-x}}{(x^2-1)^2}=\frac{e^{-x}(1-x^2-2x)}{(x^2-1)^2}\)
\(f'(x)=0 \ \Leftrightarrow \ -x^2-2x+1=0 \ \Rightarrow \ x^2+2x-1=0
\Delta=4+4=8=(2\sqrt{2})^2
x_1=\frac{-2-2\sqrt{2}}{2}=-1-\sqrt{2}
x_2=\frac{-2+2\sqrt{2}}{2}=-1+\sqrt{2}\)
\(f'(x)>0 \ \Rightarrow \ x^2+2x-1<0 \ \Rightarrow \ x\in (-1-\sqrt{2};-1+\sqrt{2})
f'(x)<0 \ \Rightarrow \ x^2+2x-1>0 \ \Rightarrow \ x\in (-\infty;-1-\sqrt{2})\cup (-1+\sqrt{2};+\infty)\)
maksimum: \(x=-1+\sqrt{2}\)
minimum: \(x=-1-\sqrt{2}\)
-
domino21
- Expert
- Posty: 3725
- Rejestracja: 27 mar 2009, 16:56
- Lokalizacja: Skierniewice
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 1298 razy
- Płeć:
- Kontakt:
zad 2.
\(f(x)=8\ln x-x^2, \ x\in <1;4>\)
\(f(1)=-1 \ \ \ f(4)=8\ln 4-16 \approx -4,9\)
\(f'(x)=\frac{8}{x}-2x
f'(x)=0 \ \Rightarrow \ \frac{8-2x^2}{x}=0 \ \Rightarrow \ 4-x^2=0 \ \wedge \ x\in D_f \Rightarrow \ x=2\)
\(f'(x)<0 \ \Rightarrow \ x(2-x)(2+x)<0 \ \Rightarrow \ x\in (2;+\infty)
f'(x)>0 \ \Rightarrow \ x\in (0;2)\)
czyli wiemy, że funkcja osiąga maksimum dla x-a w podanym przedziale, więc największa wartość w tym przedziale to: \(M=f(2)=8\ln 2-4\), a najmniejsza wartość jest na którymś z krańców przedziału, ponieważ f(4)<f(1), więc: \(m=f(4)=8\ln 4-16\)
\(f(x)=8\ln x-x^2, \ x\in <1;4>\)
\(f(1)=-1 \ \ \ f(4)=8\ln 4-16 \approx -4,9\)
\(f'(x)=\frac{8}{x}-2x
f'(x)=0 \ \Rightarrow \ \frac{8-2x^2}{x}=0 \ \Rightarrow \ 4-x^2=0 \ \wedge \ x\in D_f \Rightarrow \ x=2\)
\(f'(x)<0 \ \Rightarrow \ x(2-x)(2+x)<0 \ \Rightarrow \ x\in (2;+\infty)
f'(x)>0 \ \Rightarrow \ x\in (0;2)\)
czyli wiemy, że funkcja osiąga maksimum dla x-a w podanym przedziale, więc największa wartość w tym przedziale to: \(M=f(2)=8\ln 2-4\), a najmniejsza wartość jest na którymś z krańców przedziału, ponieważ f(4)<f(1), więc: \(m=f(4)=8\ln 4-16\)
-
Galen
- Guru
- Posty: 18457
- Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 9161 razy
1)
\(x^2+3x+2)=(x+2)(x+1)\\
D=R \setminus \left\{ -2;-1\right\} \\ \lim_{x\to-2_- } \frac{x(x^2+4x-3)}{(x+2)(x+1)}=+ \infty \\
\lim_{x\to -2_+} \frac{x(x^2+4x-3)}{( x+2)(x+1)}=- \infty\)
Prosta o równaniu \(x=-2\) jest asymptotą pionową.
\(\lim_{x\to -1_-} \frac{x(x^2+4x-3)}{(x+2)(x+1)}=- \infty \\ \lim_{x\to -1_+} \frac{x(x^2+4x-3)}{(z+2)(x+1)}=+ \infty\)
Prosta \(x=-1\) jest asymptotą pionową.
\(\lim_{x\to - \infty } \frac{x^2(x+4- \frac{3}{x}) }{x^2(1+ \frac{3}{x}+ \frac{2}{x^2}) }=- \infty \\
\lim_{x\to + \infty }f(x)=+ \infty\)
Brak asymptot poziomych.
\(x^2+3x+2)=(x+2)(x+1)\\
D=R \setminus \left\{ -2;-1\right\} \\ \lim_{x\to-2_- } \frac{x(x^2+4x-3)}{(x+2)(x+1)}=+ \infty \\
\lim_{x\to -2_+} \frac{x(x^2+4x-3)}{( x+2)(x+1)}=- \infty\)
Prosta o równaniu \(x=-2\) jest asymptotą pionową.
\(\lim_{x\to -1_-} \frac{x(x^2+4x-3)}{(x+2)(x+1)}=- \infty \\ \lim_{x\to -1_+} \frac{x(x^2+4x-3)}{(z+2)(x+1)}=+ \infty\)
Prosta \(x=-1\) jest asymptotą pionową.
\(\lim_{x\to - \infty } \frac{x^2(x+4- \frac{3}{x}) }{x^2(1+ \frac{3}{x}+ \frac{2}{x^2}) }=- \infty \\
\lim_{x\to + \infty }f(x)=+ \infty\)
Brak asymptot poziomych.
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.
-
domino21
- Expert
- Posty: 3725
- Rejestracja: 27 mar 2009, 16:56
- Lokalizacja: Skierniewice
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 1298 razy
- Płeć:
- Kontakt:
zad 1.
\(f(x)=\frac{x^3+4x^2-3x}{x^2+3x+2}=\frac{x^3+4x^2-3x}{(x+1)(x+2)}\)
\(\lim_{x\to -1^-} \ \frac{x^3+4x^2-3x}{x^2+3x+2}=[\frac{6}{0^-}]=-\infty
\lim_{x\to -1^+} \ \frac{x^3+4x^2-3x}{x^2+3x+2}=[\frac{6}{0^+}]=+\infty
\lim_{x\to -2^-} \ \frac{x^3+4x^2-3x}{x^2+3x+2}=[\frac{14}{0^+}]=+\infty
\lim_{x\to -2^+} \ \frac{x^3+4x^2-3x}{x^2+3x+2}=[\frac{14}{0^-}]=-\infty\)
asymptoty pionowe obustronne x=-2 oraz x=-1
\(\lim_{x\to +\infty} \ \frac{x^3+4x^2-3x}{x^2+3x+2}=+\infty
\lim_{x\to -\infty} \ \frac{x^3+4x^2-3x}{x^2+3x+2}=-\infty\)
brak asymptoty poziomej
\(\lim_{x\to \infty} \frac{x^3+4x^2-3x}{x^3+3x^2+2x}=1
\lim_{x\to \infty} (\frac{x^3+4x^2-3x}{x^2+3x+2}-x)=\lim_{x\to \infty} \frac{x^2-5x}{x^2+3x+2}=1\)
asymptota ukośna obustronna y=x+1
\(f(x)=\frac{x^3+4x^2-3x}{x^2+3x+2}=\frac{x^3+4x^2-3x}{(x+1)(x+2)}\)
\(\lim_{x\to -1^-} \ \frac{x^3+4x^2-3x}{x^2+3x+2}=[\frac{6}{0^-}]=-\infty
\lim_{x\to -1^+} \ \frac{x^3+4x^2-3x}{x^2+3x+2}=[\frac{6}{0^+}]=+\infty
\lim_{x\to -2^-} \ \frac{x^3+4x^2-3x}{x^2+3x+2}=[\frac{14}{0^+}]=+\infty
\lim_{x\to -2^+} \ \frac{x^3+4x^2-3x}{x^2+3x+2}=[\frac{14}{0^-}]=-\infty\)
asymptoty pionowe obustronne x=-2 oraz x=-1
\(\lim_{x\to +\infty} \ \frac{x^3+4x^2-3x}{x^2+3x+2}=+\infty
\lim_{x\to -\infty} \ \frac{x^3+4x^2-3x}{x^2+3x+2}=-\infty\)
brak asymptoty poziomej
\(\lim_{x\to \infty} \frac{x^3+4x^2-3x}{x^3+3x^2+2x}=1
\lim_{x\to \infty} (\frac{x^3+4x^2-3x}{x^2+3x+2}-x)=\lim_{x\to \infty} \frac{x^2-5x}{x^2+3x+2}=1\)
asymptota ukośna obustronna y=x+1
