Zadania na regułę de l'Hospitala

[huzar55]

1)Oblicz granicę korzystając z reguły de l'Hospitala
a) \(\lim_{x\to \pi ^-}(sinx)^{ \pi -x}\)

b) \(\lim_{x\to 1^-}(1-x)^{cos(\frac{ \pi x}{2}) }\)

c) \(\lim_{x\to + \infty } \frac{x^2}{x^x^{^{3+2}}}\)

d) \(\lim_{x\to 0} \frac{e^x^{^3}-1-x^3}{sin^6(2x)}\)

e) \(\lim_{x\to 0}(cosx)^{ \frac{1}{x^2} }\)

2)Oblicz granicę. Czy można to zrobić stosując regułę de l'Hospitala?

\(\lim_{x\to \infty } \frac{x+sinx}{x-sinx}\)

[gpl1260]

2)Oblicz granicę. Czy można to zrobić stosując regułę de l'Hospitala?

\(\lim_{x\to \infty } \frac{x+sinx}{x-sinx}\)

Nie można, bo nie są spełnione założenia (tu: nie istnieje granica ilorazu pochodnych).
Przykład jest trywialny. Wystarczy podzielić licznik i mianownik przez x, i skorzystać z ograniczoności sinusa.

[radagast]

2)
Reguła del'Hospitala tu nie zadziała. No bo tak:
\(\lim_{x\to \infty} \frac{x+sinx}{x-sinx}\) jest typu \(\frac{ \infty }{ \infty }\)
No to spróbujmy reguły de l' Hospitala:
\(\lim_{x\to \infty} \frac{1-cosx}{1+cosx}\) jest typu \(\frac{nie ma granicy }{nie ma granicy}\)
a tymczasem bez ruguły de l' Hospitala:
\(\lim_{x\to \infty} \frac{x+sinx}{x-sinx}= \lim_{x\to \infty} \frac{1+ \frac{sinx}{x} }{1- \frac{sinx}{x} }= \frac{1+0}{1-0}=1\)

[radagast]

Liczy się dość paskudnie:
1)
a)
\(\lim_{x\to \pi } (sinx)^{ \pi -x} =\)

\(\lim_{x\to \pi^- } {e^{ln((sinx)^{ \pi -x})}}=\)
W celu ułatwienia sobie zapisu policzmy sobie na "boczku" granicę
\(\lim_{x\to \pi^- } {( \pi -x)ln(sinx)=\)

\(\lim_{x\to \pi ^- } { { \frac{ln(sinx) }{ \frac{1}{( \pi -x)} } } =^H\)

\(\lim_{x\to \pi^- } { { \frac{ctgx}{ \frac{1}{( \pi -x)^2} } }=\)

\(\lim_{x\to \pi ^- } { { ctgx \cdot ( \pi -x)^2}} =\)

\(\lim_{x\to \pi ^- } \frac{( \pi -x)^2}{tgx}=^H\)

\(\lim_{x\to \pi ^- } \frac{-2( \pi -x)}{ \frac{1}{cos^2x} }= \frac{0}{1}=0\)

Tu jest koniec "boczku"

ostatecznie (o ile się nie pomyliłam):

\(\lim_{x\to \pi } (sinx)^{ \pi -x} =e^0=1\)

[gpl1260]

Fajne zadanie dla fanatyków reguły H.
Bo bez niej rozwiązanie jest jednolinijkowe.
No, ale takie jest tu polecenie ... "jak trza to trza"...

Wynik radagast jest dobry.

[radagast]

ale błędy "po drodze" są ( gdzieś tam nie dopisałam minusa, który i tak potem nie ma znaczenia)

[gpl1260]

Jeden z moich wykładowców lubił żartować, np. "dobry wynik świadczy o tym, że popełniłeś parzystą liczbę błędów".
Ale tu chyba jest tylko jeden: w 4. linijce od dołu (po zastosowaniu H.) brakuje jeszcze jednego minusa.
Chociaż trudno to nazwać błędem - skoro granica jest równa 0, to formalnie wszystko jest ok, napisane równości są prawdziwe.

[huzar55]

dzięki za zadanie 2 i zad 1 podpunkt a) a co z dalszymi?:( ja jakoś nie mogę sobie z nimi poradzić:/

[radagast]

pierwsze b) idzie dokładnie tak samo jak pierwsze a) (zapisz jako \(e^{ln...}\) i licz granicę wykładnika. Spróbuj przynajmniej , melduj o kłopotach). Trzymam kciuki