Oblicz sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Oblicz sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego
W rosnącym ciągu geometrycznym suma \(2n\) początkowych wyrazów wynosi \(S_{2n}=63\), a suma \(3n\) początkowych wyrazów początkowych wyrazów \(S_{3n}=511\). Oblicz \(S_{n}\).
-
belferkaijuz
- Czasem tu bywam
- Posty: 83
- Rejestracja: 26 sty 2009, 10:15
suma ciągu geom.
\(S_2n=63\\S_3n=511\)
\(a_1*\frac{1-q^2n}{1-q}=63\\a_1*\frac{1-q^3n}{1-q}=511\)
dzielę stronami ,więc otrzymuję:
\(\frac{1-q^2n}{1-q^3n}=\frac{9}{73}\\a^1*\frac{1-q^2n}{1-q}=63\)
niech \(q^n=t\)
wtedy \(\frac{1-t^2}{1-t^3}=\frac{9}{73}\)
\(9t^3-73t^2+64=0\\t_1=1lub\\9t^2-64t-64=0\)
delta=6400 \(sqrt{6400}=80\\t_1=\frac{-8}{9}\\t_2=8\)
zwarunków zadania wynika,że
\(t_=1orazt_2=\frac{-8}{9}\)należy odrzucić (na podstawie wartości sum dla 2n i 3n)
zatem t=8.czyli \(q^n=8\) zatem \(S_n=a_1*\frac{1-q^n}{1-q}=\frac{a^1}{1-q}*(1-8)\)
ale z danych
\(a_1*\frac{1-q^2n}{1-q}=63\\\frac{a_1}{1-q}*(1-8^2)=63\)
czyli
\(\frac{a_1}{1-q}=\frac{63}{-63}=-1\)
więc,po podstawieniu \(S_n\)
otrzymujemy
\(S_n=(-1)*(-7)=7\)
jeżeli to rozumiesz to dzięki
\(a_1*\frac{1-q^2n}{1-q}=63\\a_1*\frac{1-q^3n}{1-q}=511\)
dzielę stronami ,więc otrzymuję:
\(\frac{1-q^2n}{1-q^3n}=\frac{9}{73}\\a^1*\frac{1-q^2n}{1-q}=63\)
niech \(q^n=t\)
wtedy \(\frac{1-t^2}{1-t^3}=\frac{9}{73}\)
\(9t^3-73t^2+64=0\\t_1=1lub\\9t^2-64t-64=0\)
delta=6400 \(sqrt{6400}=80\\t_1=\frac{-8}{9}\\t_2=8\)
zwarunków zadania wynika,że
\(t_=1orazt_2=\frac{-8}{9}\)należy odrzucić (na podstawie wartości sum dla 2n i 3n)
zatem t=8.czyli \(q^n=8\) zatem \(S_n=a_1*\frac{1-q^n}{1-q}=\frac{a^1}{1-q}*(1-8)\)
ale z danych
\(a_1*\frac{1-q^2n}{1-q}=63\\\frac{a_1}{1-q}*(1-8^2)=63\)
czyli
\(\frac{a_1}{1-q}=\frac{63}{-63}=-1\)
więc,po podstawieniu \(S_n\)
otrzymujemy
\(S_n=(-1)*(-7)=7\)
jeżeli to rozumiesz to dzięki