wyznaczmy te wyrazy ciagu o wyrazie ogólnym a(n)=n^2+10 kreska ułamkowa n^2-3^3 które są liczbami całkowitymi. Mozemy to zrobić w nastepujacy sposób. Zauważmy najpierw, że n^2+10 kreska ułamkowa n^2-3 = n^2-3+13kreska ułamkowa n^2 -3 = 1+ 13 kreska ułamkowa n^2 - 3 .aby ostatnie wyrazenie bylo liczba całkowitą, mianownik ułamka musi byc rowny jednej z liczb: 1,-1,13, -13. Mamy zatem:n^2 - 3 =1 lub n^2 - 3 = -1 lub n^2 - 3 =13 lub n^2 - 3 =-13 . oczywiscie interesuja nas tylko te rozwiazania tych rownan, ktore naleza do zbioru liczb naturalnych. Są nimi n=2 oraz n=4. tak wiec tylko wyrazy a(2) i a(4) sa liczbami całkowitymi..
wykorzystujac ponizsze rozumowanie, wyznacz te wyrazy ciagu o wyrazie ogólnym a(n)=2n^2-11 kreska ułamkowa n^2-2, ktore sa liczbami calkowitymi.
bardzo prosze was o pomoc.
wyznaczmy...
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Nie bardzo rozumiem ten zapis "kreska ułamkowa" cośtam cośtam. Plącze się to okropnie. Przynajmniej dla mnie.
ciąg A(n) = (2n^2 -11)/(n^2-2)
Wyznacz dziedzinę.
Następnie jest taki trik który warto zapamiętać. Mianowicie, mając taki ułamek warto dążyć do wyłączenia całości przed ułamek, tj:
[(n^2 - 2)+(n^2 -9)]/(n^2 -2) ====> po opuszczeniu nawiasów i skrócenia licznika otrzymujemy (2n^2 - 11) czyli wszystko się zgadza. Mamy prawo tak zrobić.
Następnie rozbijamy to na dwa ułamki, wskutek czego otrzymujemy:
[(n^2 - 2)/(n^2 -2)] + [(n^2 -9)/(n^2 -2)]
Po uproszczeniu i :
a(n) = 1 + [(n^2 -9)/(n^2 -2)]
Powtarzamy krok z wyjęciem całości przed nawias:
a(n) = 1+ [(n^2 -2) -7 /(n^2 -2)] = 1+ [(n^2 -2)/(n^2 -2)] [-7 /(n^2 -2)] ponownie mamy dwa ułamki, z których jeden = 1.
zostaje nam:
a(n) = 1+1 - [7/(n^2 -2)]
Korzystając z wiedzy, że 7 to liczba pierwsza, zatem dzieli się tylko przez 1 i samą siebie. Piszemy:
a(n) ma wyrazy całkowite wtedy i tylko wtedy gdy:
n^2 - 2 = 1 lub n^2 -2 = 7
n = sqrt3 lub n = -\sqrt3 lub n= 3 lub n= -3
Po uwzględnieniu dziedziny zostaje nam tylko n=3.
I teraz "wyznacz" te wyrazy ciągu. To policz a(3) i wszystko
ciąg A(n) = (2n^2 -11)/(n^2-2)
Wyznacz dziedzinę.
Następnie jest taki trik który warto zapamiętać. Mianowicie, mając taki ułamek warto dążyć do wyłączenia całości przed ułamek, tj:
[(n^2 - 2)+(n^2 -9)]/(n^2 -2) ====> po opuszczeniu nawiasów i skrócenia licznika otrzymujemy (2n^2 - 11) czyli wszystko się zgadza. Mamy prawo tak zrobić.
Następnie rozbijamy to na dwa ułamki, wskutek czego otrzymujemy:
[(n^2 - 2)/(n^2 -2)] + [(n^2 -9)/(n^2 -2)]
Po uproszczeniu i :
a(n) = 1 + [(n^2 -9)/(n^2 -2)]
Powtarzamy krok z wyjęciem całości przed nawias:
a(n) = 1+ [(n^2 -2) -7 /(n^2 -2)] = 1+ [(n^2 -2)/(n^2 -2)] [-7 /(n^2 -2)] ponownie mamy dwa ułamki, z których jeden = 1.
zostaje nam:
a(n) = 1+1 - [7/(n^2 -2)]
Korzystając z wiedzy, że 7 to liczba pierwsza, zatem dzieli się tylko przez 1 i samą siebie. Piszemy:
a(n) ma wyrazy całkowite wtedy i tylko wtedy gdy:
n^2 - 2 = 1 lub n^2 -2 = 7
n = sqrt3 lub n = -\sqrt3 lub n= 3 lub n= -3
Po uwzględnieniu dziedziny zostaje nam tylko n=3.
I teraz "wyznacz" te wyrazy ciągu. To policz a(3) i wszystko