liczba złożona

[gelo]

Pokazać, że dla każdego n liczba \(9 ^{} ^{n}(9 ^{n}+1)+1\) jest złożona.

[ewelawwy]

rozumiem, że \(n\in N\)
\(9^n(9^n+1)+1=(9^n)^2+9^n+1=(9^n+1)^2-9^n=(9^n+1)^2-(3^2)^n=(9^n+1)^2-(3^n)^2=\\=(9^n+1-3^n)(9^n+1+3^n)\)
dała się przedstawić jako iloczyn dwóch liczb naturalnych większych od 1, czyli jest złożona

[gpl1260]

Jako ciekawostka:
Niech \(a_n=9^{2n}+9^n+1\). Wtedy:
1. Jeśli \(a_n\) dzieli się przez 7 lub 13, to dzieli się przez obie te liczby.
2. To samo z 19 i 37 zamiast 7 i 13.