forum.zadania.info

Oblicz stosunek długości promienia r podstawy walca do jego wysokości h, jeżeli przy objętości \(V = 1\) ma najmniejsze pole powierzchni.

Wyznaczam \(h\)
\(V=\pi r^2h=1\\
h=\frac{1}{\pi r^2}\)
Wyznaczam \(P_{c}\)
\(P_{c}=2\pi r^2+2\pi rh\\
P_{c}=2\pi r^2+2\pi r \frac{1}{\pi r^2}\\
P_{c}=2\pi r^2+\frac{2}{r}\)
Obliczam \(P'_{c}\)
\(P'_{c}=(2\pi r^2+\frac{2}{r})'=4\pi r -\frac{2}{r^2}\)
Obliczam \(r\), dla którego pole będzie minimalne
\(4\pi r -\frac{2}{r^2}=0\\
4\pi r^3-2=0\\
r= \sqrt[3]{ \frac{1}{2\pi} }\\
r= \frac{1}{\sqrt[3]{{2\pi} }}\\
r=2^{ -\frac{1}{3} } \pi ^{ -\frac{1}{3} }\)

Obliczam \(h\)
\(h=\frac{1}{\pi [2^{ -\frac{1}{3} } \pi ^{ -\frac{1}{3} }]^2}\\
h=\frac{1}{\pi 2 ^{ -\frac{2}{3} } \pi ^{ -\frac{2}{3} }}\\
h=\frac{1}{2 ^{ -\frac{2}{3} } \pi ^{ \frac{1}{3} }}\\
h=2 ^{ \frac{2}{3} } \pi ^{- \frac{1}{3} }\\
\frac{r}{h}=\frac{1}{2}\)

Tyle, że nadal gdzieś u kogoś jest błąd bo wyniki są inne.

W każdym razie sprawdziłam i dla
\(r=2^{ -\frac{1}{3} } \pi ^{ -\frac{1}{3} }\)
i
\(h=2 ^{ \frac{2}{3} } \pi ^{- \frac{1}{3} }\)

\(V=1\)

dzięki