Uzasadnic , ze dla dowolnej liczby naturalnej zachodzi równosc:
\(1^2+3^2+5^2+...+(2n+1)^2= \frac{n(4n^2-1)}{3}\)
indukcja
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Według mnie po lewej stronie powinno być:
\(1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2\)
\(1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2=\frac{n(4n^2-1)}{3}\)
Sprawdzamy dla n=1:
\(L=1^2=1\\P=\frac{1\cdot(4\cdot1^2-1)}{3}=\frac{1(4-1)}{3}=\frac{1\cdot3}{3}=1\\L=P\)
Niech \(k\in\ N_+\)
\(Z.\)
\(1^2+3^2+5^2+...+(2k-1)^2=\frac{k(4k^2-1)}{3}\)
\(T.\\1^2+3^2+5^2+...+(2k-1)^2+(2(k+1)-1)^2=\frac{(k+1)(4(k+1)^2-1)}{3}\)
\(D.\\L=1^2+3^2+...+(2k-1)^2+(2k+1)^2=\frac{k(4k^2-1)}{3}+(2k+1)^2=\\=\frac{k(4k^2-1)}{3}+\frac{3(2k+1)^2}{3}=\frac{k(4k^2-1)+3(4k^2+4k+1)}{3}=\\=\frac{4k^3-k+12k^2+12k+3}{3}=\frac{4k^3+12k^2+11k+3}{3}=\\=\frac{4k^3+4k^2+8k^2+8k+3k+3}{3}=\frac{(k+1)(4k^2+8k+3)}{3}=\\=\frac{(k+1)(4k^2+8k+4-1)}{3}=\frac{(k+1)(4(k^2+2k+1)-1)}{3}=\\=\frac{(k+1)(4(k+1)^2-1)}{3}\\L=P\)
\(1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2\)
\(1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2=\frac{n(4n^2-1)}{3}\)
Sprawdzamy dla n=1:
\(L=1^2=1\\P=\frac{1\cdot(4\cdot1^2-1)}{3}=\frac{1(4-1)}{3}=\frac{1\cdot3}{3}=1\\L=P\)
Niech \(k\in\ N_+\)
\(Z.\)
\(1^2+3^2+5^2+...+(2k-1)^2=\frac{k(4k^2-1)}{3}\)
\(T.\\1^2+3^2+5^2+...+(2k-1)^2+(2(k+1)-1)^2=\frac{(k+1)(4(k+1)^2-1)}{3}\)
\(D.\\L=1^2+3^2+...+(2k-1)^2+(2k+1)^2=\frac{k(4k^2-1)}{3}+(2k+1)^2=\\=\frac{k(4k^2-1)}{3}+\frac{3(2k+1)^2}{3}=\frac{k(4k^2-1)+3(4k^2+4k+1)}{3}=\\=\frac{4k^3-k+12k^2+12k+3}{3}=\frac{4k^3+12k^2+11k+3}{3}=\\=\frac{4k^3+4k^2+8k^2+8k+3k+3}{3}=\frac{(k+1)(4k^2+8k+3)}{3}=\\=\frac{(k+1)(4k^2+8k+4-1)}{3}=\frac{(k+1)(4(k^2+2k+1)-1)}{3}=\\=\frac{(k+1)(4(k+1)^2-1)}{3}\\L=P\)