Układy równań

[Wiktoriiia]

Zadanie 10.4 Rozwiąż układ metodą eliminacji Gaussa:

e) \(\begin{cases}3x_1-2x_2-4x_3+x_4=-1\\ x_1-2x_2-x_3+x_4=0\\x_1+2x_2-2x_3-x_4=2 \end{cases}\)

f) \(\begin{cases}-x_1-x_2+2x_3=-1\\2x_1+3x_2-3x_3=1\\x_1+2x_2-x_3=0\\ x_2+x_3=-1\\-3x_1-4x_2+5x_3=-2 \end{cases}\)

ł) \(\begin{cases}x_1+2x_2-x_4=1\\2x_1-x_2+ x_3_+2x_4=-1\\-x_1+3x_2-x_3-3x_4=2\\3x_1+x_2+x_3+x_4=0 \end{cases}\)

Bardzo proszę o pomoc bo ja próbowałam i jakoś nie umiem tego zrobić...
Odpowiedzi są takie:
e) sprzeczny
f) \(x_1=-1-3t; x_2=t; x_3=-1-t\)
ł) \(x_1=1-2t+k; x_2=t; x_3=5t-3-4k; x_4=k\)

[ewelawwy]

c)Zapisujemy układ równań w postaci macierzy:
\(\begin{bmatrix}\;1&\;1&\;1&\;0\\-1&-1&\;2&\;3\\\;1&-2&-1&-2\\\;3&-1&\;2&-1\end{bmatrix}\)
Teraz przekształcamy macierz do postaci macierzy "trójkątnej górnej", tj. macierzy, która pod przekątną ma same zera:
\(\begin{bmatrix}\;1&\;1&\;1&\;0\\-1&-1&\;2&\;3\\\;1&-2&-1&-2\\\;3&-1&\;2&-1\end{bmatrix} \; \(w_2+w_1\\w_3-w_1\\w_4-3w_1\)\; \to \; \begin{bmatrix}\;1&\;1&\;1&\;0\\\;0&\;0&\;3&\;3\\\;0&-3&-2&-2\\\;0&-4&-1&-1\end{bmatrix} \(w_2 \leftrightarrow w_3\) \; \to \;\begin{bmatrix}\;1&\;1&\;1&\;0\\\;0&-3&-2&-2\\\;0&\;0&\;3&\;3\\\;0&-4&-1&-1\end{bmatrix}\; \(w_4-\frac{4}{3}w_2\\w_4-\frac{5}{9}w_3\) \to \\\begin{bmatrix}\;1&\;1&\;1&\;0\\\;0&-3&-2&-2\\\;0&\;0&\;3&\;3\\\;0&\;0&\;0&\;0\end{bmatrix}\)
Teraz wystarczy zauważyć, że trzeci wiersz odpowiada równaniu:
\(3x_3=3\), czyli \(x_3=1\).
Drugi wiersz odpowiada równaniu:
\(-3x_2-2x_3=-2\). Wstawiamy \(x_3=1\) i otrzymujemy \(x_2=0\).
Pierwszy wiersz odpowiada równaniu:
\(x_1+x_2+x_3=0\). Po wstawieniu wyliczonych \(x_2\) i \(x_3\) otrzymujemy \(x_1=-1\).

[Wiktoriiia]

No juz z tym c jakos sobie poradzilam... Tylko te 3 pozostale nie umiem.. ale dziekuje za pomoc:)

[ewelawwy]

ł)
\(\begin{bmatrix}\;1&\;2&\;0&-1&\;1\\\;2&-1&\;1&\;2&-1\\-1&\;3&-1&-3&\;2\\\;3&\;1&\;1&\;1&\;0\end{bmatrix}\; \(w_2-2w_1\\w_3+w_1\\w_4-3w_1\)\; \to \; \begin{bmatrix}\;1&\;2&\;0&-1&\;1\\\;0&-5&\;1&\;4&-3\\\;0&\;5&-1&-4&\;3\\\;0&-5&\;1&\;4&-3\end{bmatrix}\; \(w_3+w_2\\w_4-w_2\) \; \to \; \begin{bmatrix}\;1&\;2&\;0&-1&\;1\\\;0&-5&\;1&\;4&-3\\\;0&\;0&\;0&\;0&\;0\\\;0&\;0&\;0&\;0&\;0\end{bmatrix}\)
\(\{\;\;x_1+2x_2-\;\;x_4=1\\
-5x_2+x_3+4x_4=-3\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=0\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=0\)
Otrzymaliśmy 2 równania z 4 niewiadomymi. Z twierdzenia Kroneckera-Capellego wynika, że układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od dwóch parametrów.
Przyjmujemy parametr \(t\) za \(x_2\) oraz \(k\) za \(x_4\) i otrzymujemy:
\(x_2=t\\
x_4=k\\
x_1+2t-k=1 \; \Rightarrow \; x_1=k-2t+1\\
-5t+x_3+4k=-3 \; \Rightarrow \; x_3=5t-4k-3\)

[ewelawwy]

f)
\(\begin{bmatrix}-1&-1&\;2&-1\\\;2&\;3&-3&\;1\\\;1&\;2&-1&\;0\\\;0&\;1&\;1&-1\\-3&-4&\;5&-2\end{bmatrix} \; \(w_2+2w_1\\w_3+w_1\\w_4-3w_1\) \; \Rightarrow \; \begin{bmatrix}-1&-1&\;2&-1\\\;0&\;1&\;1&-1\\\;0&\;1&\;1&-1\\\;0&\;1&\;1&-1\\\;0&-1&-1&\;1\end{bmatrix}\)
Usuwamy wiersz 3 i 4, bo są takie same jak drugi i nic nowego nie wnoszą.
\(\begin{bmatrix}-1&-1&\;2&-1\\\;0&\;1&\;1&-1\\\;0&-1&-1&\;1\end{bmatrix} \; \(w_3+w_2\) \; \Rightarrow \; \begin{bmatrix}-1&-1&\;2&-1\\\;0&\;1&\;1&-1\\\;0&\;0&\;0&0\end{bmatrix}\)

\(\{-x_1-x_2+2x_3=-1\\x_2+x_3=-1\)
Otrzymaliśmy 2 równania z 3 niewiadomymi. Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego parametru.
\(x_2=t\\
x_3=-1-t\\
-x_1-t+2(-t-1)=-1 \; \Rightarrow \; x_1=-1-3t\)

[ewelawwy]

Sprawdziłabyś jeszcze czy na pewno odpowiedzi dobrze spisałaś, bo sprzeczny jak widać wyszedł mi f, a nie e, natomiast wychodzi mi, że układ ma nieskończenie wiele rozwiązan w zal. od jednego parametru (t).

[ewelawwy]

Aj, jednak się w tym f pomyliłam w rachunkach. Już poprawiam.

[Wiktoriiia]

e na pewno ma wyjść sprzeczny.. A f tak jak podałam:) dzięki za rozwiązanie i jak możesz to bym jeszcze e) poprosiła:)

[ewelawwy]

f poprawione :]

[Wiktoriiia]

Dziękuję:) Bo ja próbowałam i nie szło... I ten e nadal mi nie wychodzi..

[ewelawwy]

e)
\(\begin{bmatrix}\;3&-2&-4&\;1&-1\\\;1&-2&-1&\;1&\;0\\\;1&\;2&-2&-1&\;2\end{bmatrix}\(w_1 \; \leftrightarrow \; w_3\) \; \to \; \begin{bmatrix}\;1&\;2&-2&-1&\;2\\\;1&-2&-1&\;1&\;0\\\;3&-2&-4&\;1&-1\end{bmatrix} \; \(w_2-w_1\\w_3-3w_1\)\; \to \\ \begin{bmatrix}\;1&\;2&-2&-1&\;2\\\;0&-4&\;1&\;2&-2\\\;0&-8&\;2&\;4&-7\end{bmatrix} \; \(w_3-2w_2\) \; \Rightarrow \; \begin{bmatrix}\;1&\;2&-2&-1&\;2\\\;0&-4&\;1&\;2&-2\\\;0&\;0&\;0&\;0&-3\end{bmatrix}\)
Zatem układ równań jest sprzeczny, bo 3 wiersz odpowiada równaniu \(0=-3\).

[Wiktoriiia]

Aaaa.. to już wiem bo w tym trzecim myślałam że muszę pokazać że rzędy nie są sobie równe. to dziękuje:)