obliczyc granice funkcji

[kamill0009]

\(\lim_{x\to0 }\)=\(\frac{tg4x}{x}\)

\(\lim_{x\to \pi }\)=\(\frac{1+cosx}{sin^2x}\)

[radagast]

\(\lim_{x\to 0}\ \frac{tan4x}{x}=\lim_{x\to 0 } \ \frac{4sin4x}{4xcos4x}=4\)
\(\lim_{x\to \pi } \ \frac{1+cosx}{sin^2 x}=\lim_{x\to \pi } \ \frac{1+cosx}{1-cos^2 x}=\lim_{x\to \pi} \ \frac{1}{1-cosx}=\frac{1}{2}\)

[matt90pl]

Radagast a moglbys napisac z czego tutaj korzystasz? bo mam podobne przyklady i nie wiem jak sie za to zabrac

[radagast]

W pierwszym korzystam z tego że:
1)tanx=\(\frac{sinx}{cosx}\)
2) \(\lim_{x\to 0}\)\(\frac{sinx}{x}\)=1
w drugim
z tego, że
1)\(sin^2x\)=\(1-cos^2x\)
2)\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)
3)\(\lim_{x\to \pi }cosx= -1\)
to chyba wszystko

[matt90pl]

skad w 1 przykladzie wzielo sie to 4 przed sin?
w 2 przykladzie dlaczego w liczniku nie jest 0 skoro cosx=-1 wiec 1-1 a ty napisales 1, dlaczego?

[radagast]

W pierwszym przykładzie 4 było potrzebne w mianowniku, wiec zeby sie nic nie zmieniło to poszło też do licznika
W drugim przykładzie gdybym tak sobie na początku podstawiła\(cos \pi =-1\) (co oczywiście jest prawdą) to w mianowniku miałabym \(sin^2\pi=0\), a \(\frac{0}{0}\) to t.zw. symbol nieoznaczony. Trzeba pokombinować, co zrobiłam w kolejnych dwóch krokach i wyszło

[matt90pl]

a po co w mianowniku to 4? skoro mam \(\frac{sin4x}{xcos4x}\) i 4x skroca sie ze soba wiec po co dodawac jeszcze 4?

[radagast]

Nie wiem co tam chciłabyś skracać. Na moje oko to tam sie nic nie skraca, a 4 jest potrzebne , bo\(\lim_{t\to 0} \frac{sint}{t}\)=1 no i żeby mieć takie ładne coś wpycham 4 do mianownika. Ono wtedy pojawi sie tez w liczniku ale to nie przeszkadza.

To często stosowany chwyt przy obliczaniu granic funkcji trygonometrycznych

[radagast]

Przy okazji przypomniała mi się anegdota:
student miał do policzenia granicę : \(\lim_{x\to 0} \frac{sin 4x}{sin 5x}\)
Podszedł do problemu tak: "sinusy się skracają , x sie skracająi wychodzi... \(\frac{4}{5}\)"
Egzaminator: "nie, no prosze pana... jakby były inne funkcje to tak by nie było można !"
Student: "jakby były inne funkcje to ja liczyłbym inaczej"