środek symetrii wykresu

belferkaijuz · Post autor: **belferkaijuz** » 04 mar 2009, 09:25

Wykaż,że wykres funkcji f(x)=x^3 +3*x^2 +3*x -3 ma środek symetrii

jola · Post autor: **jola** » 04 mar 2009, 15:59

Punkt P(a;b) jest środkiem symetrii wtedy i tylko wtedy, gdy wektor PXprim= wektorowi XP , gdzie X(x,y) to dowolny punkt płaszczyzny i Xprim(xprim,yprim) to obraz punktu X w symetri środkowej względem punktu P.
Łatwo wyprowdzić wzory określajce przeksztłcenie: xprim=2a-x i yprim=2b-y
Korzystając z powyższych wzorów można wyliczyć, że wzór funkcji, której wykres jest symetryczny do wykresu funkcji y=f(x) , jest nstępujący:
y=2b-f(2a-x)
Wystarczy teraz sprawdzić dla jakich a i b zachodzi równość f(x) = 2b-f(2a-x).
Korzystjąc z równości wielominów otrzymujemy, że a=-1 i b=-4

anka · Post autor: **anka** » 04 mar 2009, 16:09

\(f(x)=x^3 +3x^2 +3x -3=(x+1) ^{3}-4\) jest wykresem funkcji \(g(x)=x ^{3}\) przesuniętym o wektor [-1,-4].
Funkcja g(x) jest nieparzysta i jej wykres ma środek symetrii w (0, 0).
Translacja zachowuje odległość punktów, więc i f(x) ma środek symetrii.
Współrzędne środka symetrii to (-1,-4)

belferkaijuz · Post autor: **belferkaijuz** » 04 mar 2009, 21:13

Dzięki Jolu ,dzięki Anko . Oba rozwiązania są ładne. W uwagach do rozwiązań zadań typu "uzasadnij"," wykaż" przeczytałam:
(cytuję)" uczeń powinien wyraźnie wyszczególnić założenie i tezę ". W "kluczach " nie jest to respektowane. Co otym myślicie?

anka · Post autor: **anka** » 04 mar 2009, 21:41

Dobrze, że maturę mam już za sobą

jola · Post autor: **jola** » 05 mar 2009, 14:25

Uważam, że powinno się uczyć uczniów poprawnego zapisu. Zatem w rozwiązaniu zadań na dowodzenie powinny być wyszczególnione teza i założenie.

anka · Post autor: **anka** » 05 mar 2009, 14:47

W zadaniach na indukcję - zgoda, ale nie w zadaniach tego typu jak tutaj zostało podane.
Jeżeli wymaga się od uczniów poprawnych zapisów, to i zadania powinny być jasno formułowane.
Poza tym wtedy zapis zadania podobnego do podanego wyżej powinien brzmieć: "Wykaż, że jeżeli funkcja jest postaci (jakiejś tam), to jej wykres ma środek symetrii", ale to, przynajmniej jak dla mnie byłoby już twierdzenie, a nie zadanie do rozwiązania.

Jeżeli chodzi o rozwiązywanie zadań, to uważam, że uczniowie powinni w punktach wyszczególniać co w danej chwili obliczają i z jakich twierdzeń korzystają. Z zapis jakiś działań bez poleceń trudno się połapać co było liczone i skąd się te wypiciny wzięły.