Zadania graniastosłupy,ostrosłupy, kule itd :(

[wolf_lovers]

Witam! Bardzo prosiłabym o pomoc

1) Dany jest szescian złozony z 8 jednakowych kostek sześciennych o krawędzi 1. Z tego sześcianu zabrano 2 kostki. Oblicz objętosc V i pole powierzchni całkowitej. Pc otrzymanej bryły. Rozważ różne mozliwości.

2) Z 12 jednakowych sześcianów o krawędzi 2 cm budujemy prostopadłościan. Można w ten sposób zbudowac kilka róznych prostopadłościanów. Narysuj je wszystkie, oblicz ich objętośc i pole powierzchni w każdym przypadku.

3) W prostopadłościanie o wymiarach 9cm, 7cm, 3cm wycięto otwór o wymiarach 2 cm i 4 cm równoległe do najkrótszej krawędzi prostopadłościanu. Jakie pole powierzchni i objętośc ma otrzymana bryła?

4) Oblicz objętośc V ostrosłupa czworokątnego o polu podstawy S= 49, w którym krawędzie boczne są 4 razy dłuższe od krawędzi podstawy.

5) Pole powierzchni całkowitej czworościanu foremnego wynosi 9 √3. Oblicz długośc jego krawędzi.

6) Aby wziac ciepły prysznic w ogrodzie Tomek rozłozył w ogrodzie wąz do podlewania. Oblicz jego długośc wiedząc,że wewnętrzna średnica ma 18mm, a w wężu jest około 11,5 litra wody.

7) Płyta kompaktowa (CD ROM) ma 1,2 dm średnicy i 1,5 mm grubosci. Otwór w płycie ma 1,5 cm średnicy. Ile płyt zajmie objętośc 1 litra?

Objętosc dwóch kul są równe 36 \pi i 972 \pi . Znajdź stosunek pół powierzchni obu kul.

Z góry baaardzo dziekuję za pomoc!!

[irena]

1.
Objętość otrzymanej bryły jest równa \(V=8-2=6\)

Jeśli zabrane kostki stykają się ścianą (czyli zabieramy jeden rządek), to pole powierzchni jest równe:
\(2\cdot4+2\cdot3+4\cdot2=22\)

Jeśli zabieramy kostki stykające się tylko wierzchołkiem (z przeciwległych wierzchołków), to pole powierzchni się nie zmieni i będzie równe \(6\cdot4=24\)

[irena]

2.
Możemy otrzymać prostopadłościany o krawędziach:
\((12,\ 1,\ 1),\ (6,\ 2,\ 1,),\ (3,\ 4,\ 1),\ (3,\ 2,\ 2)\)

1)
\(12\cdot2cm=24cm\\1\cdot2cm=2cm\\P_p=2(48+48+4)=200cm^2\\V=24\cdot2\cdot2=96cm^2\)

2)
\(6\cdot2cm=12cm\\2\cdot2cm=4cm\\1\cdot2cm=2cm\\P_p=2(48+24+8)=160cm^2\\V=12\cdot4\cdot2=96cm^3\)

3)
\(3\cdot2cm=6cm\\4\cdot2cm=8cm\\1\cdot2cm=2cm\\P_p=2(48+12+16)=152cm^2\\V=6\cdot8\cdot2=96cm^3\)

4)
\(3\cdot2cm=6cm\\2\cdot2cm=4cm\\P_p=2(24+24+16)=128cm^2\\V=6\cdot4\cdot4=96cm^3\)

[irena]

3.
Objetość bryły to różnica objętości prostopadłościanów:
\(3\cdot9\cdot7-2\cdot4\cdot3=189-24=165cm^3\)

Pole powierzchni otrzymanej bryły jest mniejsza od powierzchni bryły wyjściowej o pola podstaw wyciętych prostopadłościanów.
\(P_b=2(27+63+21)-2(2\cdot4)=222-16=206cm^2\)

[irena]

4.
\(S=a^2=49\\a=7\\H=4\cdot7=28\\V=49\cdot28=112\)

[irena]

5.
a- krawędź czworościanu

\(P_c=4\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=a^2\sqrt{3}=9\sqrt{3}\\a^2=9\\a=3\)

[irena]

6.
H- długość węża (wysokość walca)
\(d=18mm=9mm=0,09dm\\V=11,5l=11,5dm^3\\V=\pi\ r^2H\\\pi\cdot0,09^2\cdot\ H=11,5\\H=\frac{11,5}{0,0081\pi}\\H\approx460dm=46m\)

[irena]

7.
\(V=1l=1dm^3\\D=1,2dm\\R=0,6dm\\d=1,5cm=0,15dm\\r=0,075dm\\V=\pi\ R^2H-\pi\ r^2H=\pi\ h(R^2-r^2)\\x\cdot\pi\cdot0,015(0,6^2-0,075^2)=1\\x\cdot0,015\pi(0,36-0,005625)=1\\x\cdot0,015\cdot\pi\cdot0,354375=1\\x=\frac{1}{x\cdot0,015\pi\cdot0,354375\\x\approx60\)

[irena]

8.
Stosunek objętości kul jest równy sześcianowi skali podobieństwa. Stosunek ich pól powierzchni jest równy kwadratowi skali podobieństwa.

\(k^3=\frac{V_1}{V_2}\\k^3=\frac{36\pi}{972\pi}\\k^3=\frac{1}{27}\\k=\frac{1}{3}\\\frac{P_1}{P_2}=k^2\\\frac{P_1}{P_2}=\frac{1}{9}\)