Zadanie z parametrem i inne

[tomek520]

1.

Zbadaj liczbę rozwiązań równania ze względu na wartość parametru m (m ? R).
Napisz wzór i narysuj wykres fukcji y = g(m), która każdej wartości parametru m przyporządkowuje liczbę rozwiązań równania:

a) (2m - 3)x^2 + 4mx + m - 1 = 0



2.

Wykaż, że dla każdej wartości parametru m (m należy do R) podane równanie ma rozwiązanie. Znajdź je.

a) mx^2 + (3m + 1)x + 2m + 1 = 0
b) mx^2 - (4m + 1)x + 3m + 1 = 0


3.

Dla jakich wartości parametru m suma kwadratów pierwiastków równania jest równa S:

a) x^2 + 5mx + 20m - 8 = 0; S = 400;



Wyniki:

1. g(m) = 2 dla m należy do (-oo, -3) u (1/2, 1 i 1/2) u (1 i 1/2, +oo)
1 dla m należy do {-3, 1/2, 1 i 1/2}
0 dla m należy do (-3, 1/2)

2.

a) Dla m=0 równanie jest liniowe i ma rozwiązanie x = -1. Dla m różne od 0 równanie jest kwadratowe ( \Delta = (m+1)^2); dla każdego m należącego do R - {0} równanie ma dwa rozwiązania x1 = -(3m + 1) - |m + 1| / 2m i x2 = -(3m + 1) + |m + 1| / 2m, przy czym x1 = x2 = -1, gdy m = -1;

b) Dla m = 0 równanie jest liniowe i ma rozwiązanie x = 1. Dla m należącego do R - {0} równanie jest kwadratowe i ma dwa rozwiązania x1 = 4m + 1 - |2m + 1| / 2m i x2 = 4m + 1 + |2m + 1| / 2m, przy czym x1 = x2 = 1 dla m = -1/2


3.
a) m = -3 i 1/5 lub m = 4 i 4/5


Nie umiem posługiwać się tym LaTeX'em

[irena]

1.
\((2m-3)x^2+4mx+m-1=0\\2m-3=0\\m=\frac{3}{2}\\4\cdot\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}-1=0\\6x+\frac{1}{2}=0\\x=-\frac{1}{12}\)

\(g(1\frac{1}{2})=1\)

\(m\neq1\frac{1}{2}\\\Delta=16m^2-4(2m-3)(m-1)=8m^2+20m-12\)

\(g(m)=0\ \Leftrightarrow \ \Delta<0\\8m^2+20m-12<0\ /:4\\2m^2+5m-3<0\\\Delta_1=25+24=49\\m_1=\frac{-5-7}{4}=-3\ \vee\ m=\frac{-5+7}{4}=\frac{1}{2}\)

\(g(m)=0\ \Leftrightarrow \ m\in(-3;\ \frac{1}{2})\\g(m)=1\ \Leftrightarrow \ m\in \left\{-3;\ \frac{1}{2};\ 1\frac{1}{2} \right\} \\g(m)=2\ \Leftrightarrow \ m\in(-\infty;\ -3)\ \cup\ (\frac{1}{2};\ 1\frac{1}{2})\ \cup\ (1\frac{1}{2};\ \infty)\)

[irena]

2.
a)
\(mx^2+(3m+1)x+2m+1=0\\m=0\\x+1=0\\x=-1\\m\neq0\\mx^2+(3m+1)x+2m+1=0\\\Delta=(3m+1)^2-4m(2m+1)=9m^2+6m+1-8m^2-4m=m^2+2m+1=(m+1)^2\\m\neq0\\ \Rightarrow \ \Delta\ \ge0\)

Jeśli m=0, to równanie jest pierwszego stopnia i ma dokładnie jedno rozwiązanie. Jeśli \(m\neq0\), to wyróżnik jest nieujemny, czyli równanie kwadratowe ma co najmniej jedno rozwiązanie.

\(Delta=(m+1)^2\\\sqrt{\Delta}=|m+1|\\x_1=\frac{-3m-1-|m+1|}{2m}\ \vee\ x_2=\frac{-3m-1+|m+1|}{2m}\)

\(m=0\ \Rightarrow \ x=-1\\m\neq0\ \Rightarrow \ x_1=\frac{-(3m+1)-|m+1|}{2m}\ \vee\ x_2=\frac{-(3m+1)+|m+1|}{2m}\)

[irena]

2.
b)
Podobnie:
\(m=0\ \Rightarrow \ -x+1=0\ \Rightarrow \ x=1\\m\neq0\ \Rightarrow \ \Delta=(4m+1)^2-4m(3m+1)=4m^2+4m+1=(2m+1)^2\\\sqrt{\Delta}=|2m+1|\)

[irena]

3.
\(x^2+5m+20m-8=0\\\Delta=25m^2-80m+32\\\Delta_1=64-3200<0\)

Dla każdej liczby m mamy: \(\Delta>0\)

\(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=400\\(-5m)^2-2(20m-8)=400\\25m^2-40m+16=400\\25m^2-40m-384=0\\\Delta_2=1600+38400=40000\\m_1=\frac{40-200}{50}=-3\frac{1}{5}\ \vee\ m_2=\frac{40+200}{50}=4\frac{4}{5}\)

[janusz47]

Rozpatrujemy dwa przypadki:
1. \(a = 0 \rightarrow 2m -3 = 0 , m = \frac{3}{2}\)
Otrzymujemy równanie liniowe, które ma jedno rozwiązanie:
\(x = \frac{ 1 -m }{4m} , m \neq 0.\)
2. \(a \neq 0\)
Otrzymujemy równanie kwadratowe. O ilości jego rozwiązań decyduje znak wyróżnika \(\Delta .\)
a. \(\Delta < 0\) - równanie nie ma rozwiązań.
b.\(\Delta = 0\) - równanie ma jedno rozwiązanie.
c.\(\Delta > 0\) - równanie ma dwa rozwiązania.
\(\Delta = (4m)^{2} - 4(2m - 3)(m-1)= 16m^{2} -8m^{2} + 8m + 12m - 12 = 8m^{2} +20m -12 = 4(2m^{2} +5m - 3)\)
\(2m ^{2} +5m -3 < 0 \leftrightarrow 2( m +3)( m - 1/2) < 0 \leftrightarrow m \in (-3, \ 1/2 ).\)
\(2m^{2} + 5m -3 = 0 \leftrightarrow 2( m+3)(m-1/2)= 0 \leftrightarrow m \in \left \{ -3, \ 1/2 \right \}.\)
\(2m ^{2} +5m -3 > 0 \leftrightarrow 2( m +3)( m - 1/2) >0 \leftrightarrow m \in (- \infty, \ -3) \cup ( 1/2 , \ \infty ).\)