Wykazać, że suma i iloczyn dwóch liczb zespolonych są rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy liczby te są albo wzajemnie sprzężone, albo obie rzeczywiste.
Jakieś pomysły?
Suma i iloczyn dwóch liczb zespolonych
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
\(z_1=a+bi\\z_2=c+di\\ \begin{cases}z_1+z_2\in\ R\\z_1z_2\in\ R \end{cases} \\ \begin{cases}a+bi+c+di=(a+c)+(b+d)i\in\ R\ \Leftrightarrow b+d=0\ \Leftrightarrow \ d=-b\\(a+bi)(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i\ \in\ R\ \Leftrightarrow \ ad+bc=0\ \Leftrightarrow \ ad=-bc \end{cases} \\(ad=-bc\ \wedge d=-b) \Leftrightarrow (b=d=0)\ \vee (d=-b\ \wedge \ -ab=-bc)\\ (ad=-bc\ \wedge \ d=-b)\ \Leftrightarrow \ (d=b)\ \vee\ (d=-b\ \wedge \ a=c)\)