Dzień dobry
Mam do rozwiązania poniższe zadania i niestety nie do końca sobie z nimi radzę, będę niezmiernie wdzięczna za wszelką pomoc.
A.
Zad 1 W portfelu jest 50 monet, z których jedna ma orła z obu stron monety. Pozostałe mają po jednej stronie orła po drugiej stronie wartość nominału. Dokonano pięciu rzutów losowo wybraną monetą i jako wynik otrzymano pięć razy orła. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowana została moneta która ma orła po obu stronach?
Zad 2 Mamy 10 pojemników oznaczonych jako A1, A2, ...A10. W każdym z nich znajduje się 10 piłeczek różniących się wyłącznie kolorem. W pojemniku o numerze n (1<=n<=10) mamy n piłeczek białych i 10-n piłeczek czarnych. Wybieramy losowo jeden z pojemników i losujemy jedną piłeczkę. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania piłeczki czarnej?
Prawdopodobieństwo
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Galen
- Guru
- Posty: 18457
- Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 9161 razy
1)
\(F\) --wylosowano fałszywkę
\(P(F)= \frac{1}{50}\)
\(D\)--wylosowano dobrą monetę
\(P(D)= \frac{49}{50}\)
\(A\)---zdarzenie,że w pięciu rzutach monetą uzyskano 5 razy orła.
Wzór na prawdopodobieństwo całkowite:
\(P(A)=P(A/F) \cdot P(F)+P(A/D) \cdot P(D)=1 \cdot \frac{1}{50}+ \frac{1}{32} \cdot \frac{49}{50}=
= \frac{1}{50}+ \frac{49}{32 \cdot 50}= \frac{32+49}{32 \cdot 50}= \frac{81}{1600}\)
Wzór Bayesa na prawdopodobieństwo warunkowe:
\(P(F/A)= \frac{P(A \cap F)}{P(A)}= \frac{ \frac{1}{50} }{ \frac{81}{1600} } = \frac{1}{50} \cdot \frac{1600}{81}= \frac{1}{5} \cdot \frac{160}{81}= \frac{32}{81}\)
Prawdopodobieństwo zdarzenia,że wylosowano monetę fałszywą do tych pięciu rzutów wynosi \(\frac{32}{81}\)
\(F\) --wylosowano fałszywkę
\(P(F)= \frac{1}{50}\)
\(D\)--wylosowano dobrą monetę
\(P(D)= \frac{49}{50}\)
\(A\)---zdarzenie,że w pięciu rzutach monetą uzyskano 5 razy orła.
Wzór na prawdopodobieństwo całkowite:
\(P(A)=P(A/F) \cdot P(F)+P(A/D) \cdot P(D)=1 \cdot \frac{1}{50}+ \frac{1}{32} \cdot \frac{49}{50}=
= \frac{1}{50}+ \frac{49}{32 \cdot 50}= \frac{32+49}{32 \cdot 50}= \frac{81}{1600}\)
Wzór Bayesa na prawdopodobieństwo warunkowe:
\(P(F/A)= \frac{P(A \cap F)}{P(A)}= \frac{ \frac{1}{50} }{ \frac{81}{1600} } = \frac{1}{50} \cdot \frac{1600}{81}= \frac{1}{5} \cdot \frac{160}{81}= \frac{32}{81}\)
Prawdopodobieństwo zdarzenia,że wylosowano monetę fałszywą do tych pięciu rzutów wynosi \(\frac{32}{81}\)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.
-
Galen
- Guru
- Posty: 18457
- Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 9161 razy
2) Prawdopodobieństwo całkowite:
\(P(C)=0,9 \cdot 0,1+0,8 \cdot 0,1+0,7 \cdot 0,1+0,6 \cdot 0,1+0,5 \cdot 0,1+0,4 \cdot 0,1+0,3 \cdot 0,1+0,2 \cdot 0,1+0,1 \cdot 0,1+0 \cdot 0,1=0,45\)
Najprościej jest rozrysować dwupiętrowe drzewko,na pierwszym piętrze mamy numery pojemników i wiemy
ile tam jest białych kul,a na drugim piętrze (dolnym) mamy prawdopodobieństwa wylosowania białej kuli z kolejnego pojemnika.
Jest tu obliczane prawdopodobieństwo całkowite,ale drzewo to ułatwia.
\(P(C)=0,9 \cdot 0,1+0,8 \cdot 0,1+0,7 \cdot 0,1+0,6 \cdot 0,1+0,5 \cdot 0,1+0,4 \cdot 0,1+0,3 \cdot 0,1+0,2 \cdot 0,1+0,1 \cdot 0,1+0 \cdot 0,1=0,45\)
Najprościej jest rozrysować dwupiętrowe drzewko,na pierwszym piętrze mamy numery pojemników i wiemy
ile tam jest białych kul,a na drugim piętrze (dolnym) mamy prawdopodobieństwa wylosowania białej kuli z kolejnego pojemnika.
Jest tu obliczane prawdopodobieństwo całkowite,ale drzewo to ułatwia.
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.