funkcja okresowa
: 08 paź 2010, 21:21
Wykazać, że funkcja f jest okresowa, gdy
\(f(x+1)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)}, \ x\in R\)
\(f(x+1)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)}, \ x\in R\)
\(f(x+1)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)}\)
\(f(x+2)=\frac{1+f(x+1)}{1-f(x+2)}=\frac{1+\frac{1+f(x)}{1-f(x)}}{1-\frac{1+f(x)}{1-f(x)}}=\frac{1-f(x)+1+f(x)}{1-f(x)-1-f(x)}=-\frac{1}{f(x)\)
\(f(x+3)=\frac{1-\frac{1}{f(x)}}{1+\frac{1}{f(x)}}=\frac{f(x)-1}{f(x)+1}\)
\(f(x+4)=\frac{1+\frac{f(x)-1}{f(x)+1}}{1-\frac{f(x)-1}{f(x)+1}}=\frac{f(x)+1+f(x)-1}{f(x)+1-f(x)+1}=\frac{2f(x)}{2}=f(x)\)
\(f(x+4)=f(x)\)
Funkcja jest okresowa. Okres jest równy 4.