Strona 1 z 1
Rozwiąż układ równań
: 20 lut 2009, 17:56
autor: poszukiwacz
Rozwiąż układ równań:
\(\{ 3tgx=\sqrt{y^2-2y+3}\\ 2cos2x=2y-3\),
gdzie \(x{\in}(0;{{\pi}\over{2}})\).
: 20 lut 2009, 20:32
autor: belferkaijuz
założ.1/2*(2y-3)<=1i1/2*(2y-3)>=-1 stąd y<=5/2 i y.>=1/2 i cos2x=(2y-3)/2 teraz stosuję wzór na tg(alfa/2):,
tgy=pierwiastek((1-cos2y)/(1+cos2y)) =pierwiastek((5-2y)/(2y-1)) , podstawiając to wyrażenie do pierwszego równania i podnosząc stronami do kwadratu otrzymujemy po uporządkowaniu:2y^3 -5y^2 + 6y -48=0. Rozwiązaniem jest y=2
zatem x= pi/6.
piękne zadanie! Mam nadzieję,że nie pomyliłam się. Pozdrawiam.
: 09 kwie 2009, 09:55
autor: 300
mógłby ktoś jeszcze raz, jaśniej? skąd ten tg (alfa/2)?
: 09 kwie 2009, 16:38
autor: anka
Przepisałam to w Latex:
\(\{ 3tgx=\sqrt{y^2-2y+3}\\ 2cos2x=2y-3\)
\(\{ 3tgx=\sqrt{y^2-2y+3}\\ cos2x=\frac{2y-3}{2}\)
założ.
\(\{y^2-2y+3\ge0\\ \frac{2y-3}{2} \le1\\ \frac{2y-3}{2} \ge -1\)
\(\{ y\in R\\y \le \frac{5}{2}\\ y\ge\frac{1}{2}\)
\(y\in [\frac{1}{2};\frac{5}{2}]\)
\(tg(\frac{\alpha}{2})=\frac{1-cos\alpha}{sin\alpha} \Rightarrow tgx=\frac{1-cos2x}{sin2x}=\frac{1-cos2x}{sin2x}=\frac{1-cos2x}{\sqrt{1-cos^22x}}=\\
\sqrt{\frac{(1-cos2x)^2}{1-cos^22x}}=\sqrt{\frac{(1-cos2x)^2}{(1-cos2x)(1+cos2x)}}=\sqrt{\frac{1-cos2x}{1+cos2x}}=\sqrt{\frac{5-2y}{2y-1}}\)
belferkaijuz pisze: podstawiając to wyrażenie do pierwszego równania i podnosząc stronami do kwadratu otrzymujemy po uporządkowaniu:2y^3 -5y^2 + 6y -48=0. Rozwiązaniem jest y=2
zatem x= pi/6.
\(\{ 3\sqrt{\frac{5-2y}{2y-1}}=\sqrt{y^2-2y+3}\\ cos2x=\frac{2y-3}{2}\)
: 09 kwie 2009, 20:31
autor: 300
dzieki : )