Rozwiązać układ równań

[poszukiwacz]

Rozwiązać układ równań:

\(\{ xz-xy+yz=-3xyz\\ 2xz+xy-3yz=8xyz\\ 4xz-xy+2yz=-xyz\).

[anka]

\(x \neq 0,y \neq 0,z \neq 0\)

\(\begin{cases} xz-xy+yz=-3xyz /:xyz\\ 2xz+xy-3yz=8xyz/:xyz\\ 4xz-xy+2yz=-xyz/:xyz\end{cases}\)
\(\begin{cases} \frac{1}{y}- \frac{1}{z}+ \frac{1}{x}=-3 \\ \frac{2}{y}+ \frac{1}{z}- \frac{3}{x}=8\\ \frac{4}{y}- \frac{1}{z}+\frac{2}{x}=-1\end{cases}\)
Dodajemy stronami I i II równanie
\(\frac{3}{y} - \frac{2}{x} =5\\
\frac{2}{x} = \frac{3}{y}-5\\
\frac{1}{x}= \frac{3}{2y}- \frac{5}{2}\)
Podstawiamy do równania III
\(\frac{4}{y}- \frac{1}{z}+\frac{2}{x}=-1\\
\frac{4}{y}- \frac{1}{z}+\frac{3}{y}-5=-1\\
\frac{7}{y}- \frac{1}{z}=4\\
\frac{1}{z}=\frac{7}{y}-4\)

\(\begin{cases} \frac{1}{y}- \frac{1}{z}+ \frac{1}{x}=-3\\ \frac{1}{x}= \frac{3}{2y}- \frac{5}{2} \\ \frac{1}{z}=\frac{7}{y}-4 \end{cases}\)
\(\begin{cases} \frac{1}{y}- \frac{7}{y}+4+ \frac{3}{2y}- \frac{5}{2}=-3\\ \frac{1}{x}= \frac{3}{2y}- \frac{5}{2} \\ \frac{1}{z}=\frac{7}{y}-4 \end{cases}\)
\(\begin{cases} \frac{1}{y}- \frac{7}{y}+ \frac{3}{2y}= -\frac{9}{2} \\ \frac{1}{x}= \frac{3}{2y}- \frac{5}{2} \\ \frac{1}{z}=\frac{7}{y}-4 \end{cases}\)
\(\begin{cases} y=1\\ \frac{1}{x}= \frac{3}{2y}- \frac{5}{2} \\ \frac{1}{z}=\frac{7}{y}-4 \end{cases}\)
\(\begin{cases} y=1\\ \frac{1}{x}= \frac{3}{2}- \frac{5}{2} \\ \frac{1}{z}=\frac{7}{1}-4 \end{cases}\)
\(\begin{cases} y=1\\ \frac{1}{x}= -1\\ \frac{1}{z}=3 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x=-1\\y=1\\ z= \frac{1}{3}\end{cases}\)