forum.zadania.info

1) \(\lim_{x \to 0} \ \left(1+\tan 2x \right)^{\cot 4x}\)

2) \(\lim_{x\to 0} \ \frac{3^{2x}-1}{6^x-1}\)

Na jedną i drugą nie mam pomysłu.

2)
\(\lim_{x\to 0} \frac{3^{2x}-1}{6^x-1}= \lim_{x\to 1} \frac{9^x-1}{6^x-1}= \left(\frac{0}{0} \right)=(*)\)

\((9^x-1)'=9^xln9\)
\((6^x-1)'=6^xln6\)

\((*)= \lim_{x\to 0} \frac{9^xln9}{6^xln6}=\frac{ln9}{ln6}\)

1)
\(\lim_{x\to 0 } (1+tg2x)^{ctg4x}\)

Nie jestem pewna, czy dobrze myślę, ale ja wprowadziłabym tu dodatkową zmienną:
\(\frac{1}{tg2x}=u\\tg2x=\frac{1}{u}\\(x \to 0)\ \Rightarrow \ (u \to \infty)\)
\(ctg4x=\frac{1-tg^22x}{2tg2x}=\frac{1-\frac{1}{u^2}}{2\cdot\frac{1}{u}}=\frac{u^2-1}{2u}=\frac{1}{2}u-\frac{1}{2u}\)

\(\lim_{x\to 0 } (1+tg2x)^{ctg4x}= \lim_{u\to \infty} (1+\frac{1}{u})^{\frac{u}{2}-\frac{1}{2u}}= \lim_{u\to \infty} \frac{[(1+\frac{1}{u})^u]^{\frac{1}{2}}}{(1+\frac{1}{u})^{\frac{1}{2u}}}=\frac{\sqrt{e}}{1^0}=\sqrt{e}\)

\(\lim_{x\to 1} \frac{9^xln9}{6^xln6}=\frac{ln9}{ln6}\)

Pewnie powinno być \(\lim_{x\to 0} \ \frac{9^x \ln 9}{6^x \ln 6}=\ldots\)

Dziękuję za rozwiązania

Już zauważyłam. I poprawiłam.

\(ctg4x=\frac{1-tg^22x}{2tg2x}\)
a skąd to działanie? jest na to jakiś wzór?

Tak, na wartość funkcji podwojonego kąta:
\(ctg2x=\frac{ctg^2x-1}{2ctgx}\)
\(ctg4x=ctg(2\cdot2x)=\frac{ctg^22x-1}{2ctg2x}=\frac{\frac{1}{tg^22x}-1}{2\cdot\frac{1}{tg2x}}=\frac{\frac{tg^22x-1}{tg^22x}}{\frac{2}{tg2x}}=\frac{tg^22x-1}{tg^22x}\cdot\frac{2tg2x}{2}=\frac{tg^22x-1}{2tg2x}\)