forum.zadania.info

Wyznacz równania asymptot funkcji określonych wzorem:
1) \(f(x)= \frac{1}{e^x-1}\)

2) \(f(x)= \frac{\sin x}{x^2}\)

zad 1.
liczymy dziedzinę:
\(e^x-1\neq 0
e^x\neq 1
e^x \neq e^0
x\neq 0\)
\(D=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)\)

\(\lim_{x\to 0^-} f(x)=[\frac{1}{0^-}]=-\infty \ \ \lim_{x\to 0^+} f(x)=[\frac{1}{0^+}]=+\infty\)
asymptota pionowa x=0

\(\lim_{x\to -\infty} f(x)=\frac{1}{-1}=-1 \ \ \lim_{x\to +\infty} f(x)=[\frac{1}{+\infty}]=0\)
asymptota pozioma lewostronna y=-1 oraz asymptota pozioma prawostronna y=0

\(\lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to \infty} \frac{1}{x(e^x-1)}=[\frac{1}{\infty}]=0\)
brak asymptoty ukośnej

2) \(Dziedzina\; D=(- \infty ;0) \cup (0;+ \infty )\)
\(\lim_{x\to 0_-} \frac{sinx}{x^2}= \lim_{x\to 0_-} \frac{sinx}{x} \cdot \frac{1}{x}=1 \cdot (- \infty )=- \infty\)
\(\lim_{x\to )_+} \frac{sinx}{x} \cdot \frac{1}{x}=1 \cdot (+ \infty )=+ \infty\)
Asymptota pionowa : \(x=0\)
\(\lim_{x\to \infty } \frac{sinx}{x^2}=0\)
Prosta \(y=0\) jest asymptotą poziomą,chociaż tu można mieć wątpliwości,bo wykres oscyluje wzdłuż tej prostej
i nieskończenie razy ją przecina,ale wartości funkcji są nieskończenie małe,czyli zmierzają do zera przy x dążącym zarówno do plus,jak i minus nieskończoności.