która z liczb jest wieksza

[celia11]

proszę o pomoc w rozwiazaniu:

Która z liczb jest większa

\(5^6+2^{12}\) czy \(5^{12}-2^{24}\)

dziękuję

[domino21]

niech:
\(a=5^6+2^{12} \ \wedge \ b=5^{12}-2^{24}=(5^6-2^{12})(5^6+2^{12})\)

\(b-a=(5^6-2^{12})(5^6+2^{12})-(5^6+2^{12})=(5^6+2^{12})(5^6-2^{12}-1)=(5^6+2^{12})(5^6-4^6-1)\)

\(5^6+2^{12}>0 \ \wedge \ 5^6-4^6-1>0 \ \Rightarrow \ (5^6+2^{12})(5^6-4^6-1)>0 \ \Rightarrow \ b-a>0 \ \Rightarrow \ b>a\)

\(5^{12}-2^{24}>5^6+2^{12}\)

[anka]

Można też tak:


\(5^{12}-2^{24}=(5^6-2^{12})(5^6+2^{12})=(5^3-2^6)(5^3+2^6)(5^6+2^{12})=\\(125-64)(5^3+2^6)(5^6+2^{12})=61(5^3+2^6)(5^6+2^{12})>5^6+2^{12}\)