Prostopadłościan

[teodore]

Proszę o pomoc z poniższym zadaniem...

Z kawałka drutu o długości 84 cm należy sporządzić model prostopadłościanu o podstawie kwadratowej i największej objętości. Jakie powinny być wymiary tego prostopadłościanu?

[tometomek91]

\(V(a,H)=a^2 \cdot H\\
a \in (0;84)\)
Moreover \(8a+4H=84\) thence \(H=21-2a\)
Substituting
\(V(a)=a^2(21-2a)\\
V'(a)=-6a^2+42a\\
V'(a)=0\) if and only if \(V'(a)=...\)
Szukasz miejsc podejrzanych o ekstremum, pozniej warunek wystarczający i koniec.

[teodore]

Hm. Nie za bardzo łapię. Przepraszam, ale jakoś nie jestem w stanie się jeszcze w tym odnaleźć...

[Galen]

Niech x oznacza długość krawędzi podstawy, H-wysokość prostopadłościanu.
Suma długości wszystkich krawędzi daje równanie :
\(8x+4H=84|:4\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;2x+H=21\;\; \Rightarrow\;\;H=21-2x\)
Obliczasz objętość :\(V=x^2 \cdot H\)
Podstawiasz wzór na H i otrzymujesz funkcję o argumencie x.
\(V=x^2 \cdot (21-2x)=-2x^3+21x^2\;\;\; \wedge \;\;x \in (0;10 \frac{1}{2})\)
Trzeba teraz wyznaczyć maksimum lokalne funkcji : \(V(x)=-2x^3+21x^2\)
\(V'(x)=-6x^2+42x
V'(x)=0\;\; \vee \Leftrightarrow \;\;6x(-x+7)=0\;\; \Rightarrow \;\;x_1=0 \notin (0,10 \frac{1}{2})\;\;x_2=7\)
Wykresem pochodnej jest parabola ramionami w dół,więc w otoczeniu argumentu 7 pochodna V'(x) zmienia znak z plus na minus.
Wniosek z tego ,że V(x) najpierw rośnie,a potem maleje,czyli dla \(x=7\) osiąga maksimum.
Obliczasz \(H=21-2x=21-2 \cdot 7=7\)
Największą objętość ma sześcian o krawędzi 7.
Objętość ta wynosi \(7^3=343\)

[teodore]

Dzięki za pomoc! Wszystko się wyjaśniło Jest "łapka".