LICZBY
: 18 cze 2010, 11:04
Udowodnij,że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele
Załóżmy, dla udowodnienia, że zbiór liczb pierwszych jest zbiorem skończonym, czyli:
\(P= \left\{p_1,\ p_2,\ p_3,\ ...,\ p_n \right\}\) gdzie \(n \in N\ \ i\ \ p_1=2,\ p_2=3,...\)
Niech N będzie liczbą naturalną taką, że \(N=p_1p_2p_3...p_n+1\). Na podstawie założenia liczba N jest liczbą złożoną.
Z zasadniczego twierdzenia arytmetyki wynika, że istnieje liczba pierwsza q taka, że liczba N dzieli się przez q.
Ale, na podstawie założenia, istnieje taka liczba \(p_i\), gdzie \(1 \le i \le n\), że \(q=p_i\).
Stąd: liczba \(N-p_1p_2p_3...p_n\) dzieli się przez q. Ale \(N-p_1p_2p_3...p_n=1\), co jest niezgodne z założeniem, że liczba q jest liczbą pierwszą, czyli, że \(q>1\).
A to kończy dowód.
Zasadnicze twierdzenie arytmetyki:
Każda liczba naturalna złożona może być przedstawiona w sposób jednoznaczny jako iloczyn liczb pierwszych (ta jednoznaczność jest wyznaczona z dokładnością do kolejności czynników).