Suma n liczb jest równa 3n. Udowodnij, że istnieje wśród nich pięć
liczb, których suma wynosi co najmniej 15.
Bardzo proszę o pomoc!!!!!!
LICZBY
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
agnieszka758
- Dopiero zaczynam
- Posty: 18
- Rejestracja: 13 kwie 2010, 17:37
- Podziękowania: 4 razy
Ustawmy te liczby w niemalejący ciąg: \(a_1,\ a_2,\ a_3,\ ...,\ a_{n-1},\ a_n\).
Dodajmy największe z tych liczb:
\(a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-3}+a_{n-4}\). Załóżmy, że suma ta jest mniejsza od 15. W takim wypadku średnia arytmetyczna tych liczb jest równa:
\(\frac{a_{n-4}+a_{n-3}+a_{n-2}+a+{n-1}+a_n}{5}<\frac{15}{5}=3\), czyli średnia arytmetyczna tych liczb jest mniejsza od 3.
W takim wypadku suma początkowych liczb jest większa od 3n-15, czyli:
\(a_1+a_2+a_3+...+a_{n-5}>3n-15=3(n-5)\)
W takim wypadku średnia arytmetyczna tych początkowych liczb :
\(\frac{a_1+a_2+...+a_{n-5}}{n-5}>\frac{3(n-5)}{n-5}=3\)
Otrzymaliśmy sprzeczność- średnia arytmetyczna mniejszych liczb byłaby większa od średniej arytmetycznej liczb większych.
Zatem:
istnieje wśród tych liczb takich pięć liczb, których suma jest równa co najmniej 15.
Dodajmy największe z tych liczb:
\(a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-3}+a_{n-4}\). Załóżmy, że suma ta jest mniejsza od 15. W takim wypadku średnia arytmetyczna tych liczb jest równa:
\(\frac{a_{n-4}+a_{n-3}+a_{n-2}+a+{n-1}+a_n}{5}<\frac{15}{5}=3\), czyli średnia arytmetyczna tych liczb jest mniejsza od 3.
W takim wypadku suma początkowych liczb jest większa od 3n-15, czyli:
\(a_1+a_2+a_3+...+a_{n-5}>3n-15=3(n-5)\)
W takim wypadku średnia arytmetyczna tych początkowych liczb :
\(\frac{a_1+a_2+...+a_{n-5}}{n-5}>\frac{3(n-5)}{n-5}=3\)
Otrzymaliśmy sprzeczność- średnia arytmetyczna mniejszych liczb byłaby większa od średniej arytmetycznej liczb większych.
Zatem:
istnieje wśród tych liczb takich pięć liczb, których suma jest równa co najmniej 15.