Stożek i walec

[teodore]

W stożek o promieniu podstawy długości 12 i wysokości 15 wpisano walec, w ten sposób, że jedna podstawa walca zawiera się w podstawie stożka, a brzeg jego drugiej podstawy zawiera się w powierzchni bocznej stożka. Oblicz długość promienia podstawy i długość wysokości walca, wiedząc że pole powierzchni bocznej walca wynosi \(27,5 \pi\).

Jak się za to zabrać?

[Galen]

Narysuj trójkąt równoramienny i prostokąt wpisany,będzie to przekrój osiowy stożka z wpisanym walcem.
Wysokość stożka oznacz H,wysokość walca h.
Promień podstawy stożka R,walca r.Różnica promieni R-r będzie potrzebna przy obliczeniach.
Trójkąt prostokątny utworzony przez H,R i tworzącą stożka l jest podobny do trójkąta utworzonego przez
wysokość walca h,różnicę promieni R-r i kawałek tworzącej stożka od podstawy do punktu styczności
walca ze stożkiem.
Masz proporcję\(\frac{h}{12-r}= \frac{15}{12} \Rightarrow \frac{h}{12-r}= \frac{5}{4}\)
\(4h=60-5r \Rightarrow h= \frac{60-5r}{4}\)
Wykorzystasz pole boczne walca.\(2 \pi \cdot r \cdot h=27,5 \pi\)
\(\frac{2 \pi r(60-5r)}{4}=27,5 \pi\)
Po skróceniach masz
\(r=1\)
\(h= \frac{60-5}{4}=13,75\)

[teodore]

Dzięki! Teraz już wiem co i jak

[teodore]

Jeszcze raz sobie to sam policzyłem i wychodzi mi \(r = 1\) lub \(r = 11\). Dlaczego zatem odrzucamy ten drugi przypadek? Z góry dziękuję za odpowiedź

[Galen]

Nie liczyłem w szczegółach:)
Sprawdź,czy pole boczne będzie zgodne z zadaniem i jeśli się zgadza,to zadanie ma dwa rozwiązania.

[teodore]

Wygląda na to, że się zgadza. Zatem... dwa rozwiązania