forum.zadania.info

Oblicz granicę ciągu \(a_n= \frac{n- \sqrt{n^2-1} }{2n- \sqrt{4n^2+n} }\).

\(\frac{n- \sqrt{n^2-1} }{2n- \sqrt{4n^2+n} }=\frac{(n- \sqrt{n^2-1})(n+ \sqrt{n^2-1} )}{(2n- \sqrt{4n^2+n})(n+ \sqrt{n^2-1} ) }=\\
\frac{n^2-n^2+1}{ \left(2n- \sqrt{n^2 \left(4+ \frac{1}{n} \right) } \right) \left( n+ \sqrt{n^2 \left( 1- \frac{1}{n^2} \right) } \right) }= \frac{1}{ \left( 2n-n \sqrt{4} \right) \left(n+n \sqrt{1} \right) } = \frac{1}{0} \\
\lim_{n\to \infty} a_n=\infty\)

W odpowiedziach jest 0, więc w takim razie co robię źle?

mianownik zamień tym samym sposobem co zrobiłeś z licznikiem

Czyli jeszcze raz pomnożyć całość przez \(2n+\sqrt{4n^2+n}\)?

Liczyłam to zadanie właśnie tym sposobem i ciągle wychodzi mi 4:
\(\frac{ \left( n- \sqrt{n^2+2n} \right) \left(n+ \sqrt{n^2+2n} \right) }{ \left(2n- \sqrt{4n^2+n} \right) \left(n+ \sqrt{n^2+2n} \right) }=
\frac{ \left( n^2-n^2-2n\right) \left( 2n+ \sqrt{4n^2+n} \right) }{ \left(2n- \sqrt{4n^2+n} \right) \left( n+ \sqrt{n^2+2n} \right) \left( 2n+ \sqrt{4n^2+n} \right) }= \\
\frac{ \left( -2n\right) \left( 2n+ \sqrt{n^2 \left(4+ \frac{1}{n} \right) } \right) }{ \left(4n^2-4n^2-n \right) \left( n+ \sqrt{n^2 \left(1+ \frac{2}{n} \right) } \right) }= \frac{ \left( -2n\right) \left(2n+n \sqrt{4} \right) }{ \left(-n \right) \left(n+n \right) }=2 \cdot \frac{4n}{2n} \Rightarrow \lim_{n \to \infty }a_n= 4\)

Nie mam pojęcia co robię źle

ten przykład to nie ten sam co wcześniej

Ja bym dzieliła licznik i mianownik przez \(n\)

Ups... Nie wiem skąd tam wytrzasnęłam to \(\sqrt{n^2+2n}\), chyba nieodpowiednia pora na rozwiązywanie zadań

A jak to podzielić przez n?

ale to nic nie da bo zmieniła przykład, więc wynik też będzie inny niż miał być wcześniej

najpierw rozwiąż dobry przykład a pozniej zobacz czego nie rozumiesz

Jednak nie , z tego dzielenia przez n wychodzi 0/0

Już to rozwiązałam i jest tak jak w odpowiedziach

Dzięki

forum.zadania.info

Gdzie jest błąd? (granica)

Gdzie jest błąd? (granica)