Ostrosłup
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Ostrosłup
Wysokośc ostrosłupa prawidłowego trójkątnego tworzy z krawędzią boczną tego ostrosłupa kąt \alpha taki, że cos \alpha 0,8. Krawędź podstawy ma długośc 3 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.
a=3cm- krawędź podstawy
b- krawędź boczna
R- promień okręgu opisanego na podstawie
H- wysokość ostrosłupa
\(h_b\)- wysokość ściany bocznej
\(R=\frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\\R=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}cm\)
\(cos\alpha=0,8=\frac{H}{b}\\H=0,8b\\H^2+R^2=b^2\\0,64b^2+3=b^2\\0,36b^2=3\\b^2=\frac{300}{36}=\frac{75}{9}\\b=\frac{5\sqrt{3}}{3}cm\)
\(h_b^2+(\frac{a}{2})^2=b^2\\h_b^2+\frac{9}{4}=\frac{75}{9}\\h_b^2=\frac{219}{36}\\h_b=\frac{\sqrt{219}}{6}cm\)
Pole podstawy:
\(P_p=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\\P_p=\frac{3^2\sqrt{3}}{4}=\frac{9\sqrt{3}}{4}cm^2\)
Pole powierzchni bocznej:
\(P_b=3\cdot\frac{1}{2}\cdot3\cdot\frac{\sqrt{219}}{6}=\frac{3\sqrt{219}}{4}cm^2\)
Pole powierzchni:
\(P_c=\frac{9\sqrt{3}}{4}+\frac{3\sqrt{219}}{4}=\frac{3\sqrt{3}(3+\sqrt{73})}{4}cm^2\)
b- krawędź boczna
R- promień okręgu opisanego na podstawie
H- wysokość ostrosłupa
\(h_b\)- wysokość ściany bocznej
\(R=\frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\\R=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}cm\)
\(cos\alpha=0,8=\frac{H}{b}\\H=0,8b\\H^2+R^2=b^2\\0,64b^2+3=b^2\\0,36b^2=3\\b^2=\frac{300}{36}=\frac{75}{9}\\b=\frac{5\sqrt{3}}{3}cm\)
\(h_b^2+(\frac{a}{2})^2=b^2\\h_b^2+\frac{9}{4}=\frac{75}{9}\\h_b^2=\frac{219}{36}\\h_b=\frac{\sqrt{219}}{6}cm\)
Pole podstawy:
\(P_p=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\\P_p=\frac{3^2\sqrt{3}}{4}=\frac{9\sqrt{3}}{4}cm^2\)
Pole powierzchni bocznej:
\(P_b=3\cdot\frac{1}{2}\cdot3\cdot\frac{\sqrt{219}}{6}=\frac{3\sqrt{219}}{4}cm^2\)
Pole powierzchni:
\(P_c=\frac{9\sqrt{3}}{4}+\frac{3\sqrt{219}}{4}=\frac{3\sqrt{3}(3+\sqrt{73})}{4}cm^2\)
